Matem1 Problemas Resueltos Algebra (Junio 2023) (12)

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1 SISTEMAS, MATRICES, DETERMINANTES
Solución: Se trata de encontrar los valores que anulan al determinante. Para calcularlo se pueden
usar operaciones elementales por ejemplo para poner ceros debajo del primer 1. Pero es mejor si se
observa que las filas 1 y 4 se parecen mucho; comenzamos restándolas:
|A| =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1− b 3 2
2 6 b 2
−2 b+ 4 0 −1
1 b+ 7 3 2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1− b 3 2
2 6 b 2
−2 b+ 4 0 −1
0 2b+ 6 0 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= (2b+ 6)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 3 2
2 b 2
−2 0 −1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
El determinante 3 × 3 se puede hacer por Sarrus sin problemas, o por ejemplo poniendo un cero
más en la última fila (haciendo C1 − 2C3):
|A| = 2(b+ 3)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
−3 3 2
−2 b 2
0 0 −1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 2(b+ 3)
∣
∣
∣
∣
3 3
2 b
∣
∣
∣
∣
= 2(b+ 3)(3b− 6) = 6(b+ 3)(b− 2)
Por tanto la matriz NO es invertible para b = −3 y para b = 2.
o
60. Encuentra los valores del parámetro b para los que la siguiente matriz es invertible.
A =




1 2 −2 1
3 b− 2 0 3
2 2 −1 2
3− b 6 b+ 2 b+ 5




Solución: Se trata de encontrar los valores que NO anulan al determinante. Para calcularlo se
puede empezar restando las columnas 1 y 4 , que se parecen mucho. Pero también es sencillo si se
hace un proceso estándar de poner ceros debajo del primer 1:
|A| =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 2 −2 1
3 b− 2 0 3
2 2 −1 2
3− b 6 b+ 2 b+ 5
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 2 −2 1
0 b− 8 6 0
0 −2 3 0
0 2b 8− b 2b+ 2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
b− 8 6 0
−2 3 0
2b 8− b 2b+ 2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 2(b+ 1)
∣
∣
∣
∣
b− 8 6
−2 3
∣
∣
∣
∣
= 6(b+ 1)
∣
∣
∣
∣
b− 8 2
−2 1
∣
∣
∣
∣
= 6(b+ 1)(b− 4)
Por tanto la matriz es invertible para cualquier valor de b distinto de −1 y de 4.
o
61. Calcula el determinante de la siguiente matriz, simplif́ıcalo cuanto puedas y determina los valores
de los parámetros a y b para los que se anula:
A =




a 1 1 1
1 2− a 1 1
1 1 2− b 1
1 1 1 b




Matemáticas de 1 , problemas 34 Alberto del Valle Robles
1 SISTEMAS, MATRICES, DETERMINANTES
Solución: Lo mejor es observar que la matriz tiene “una mitad con a’s y una mitad con b’s” y
tratarlas por separado. Empezamos por ejemplo con F1 −F2 y F4 −F3 y luego C2 −C1 y C3 −C4:
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a 1 1 1
1 2− a 1 1
1 1 2− b 1
1 1 1 b
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a− 1 a− 1 0 0
1 2− a 1 1
1 1 2− b 1
0 0 b− 1 b− 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a− 1 0 0 0
1 1− a 0 1
1 0 1− b 1
0 0 0 b− 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Desarrollando por la primera fila sale (a−1) por un determinante con ceros bajo la diagonal que vale
(1−a)(1−b)(b−1). Por tanto |A| = (a−1)(1−a)(1−b)(b−1) = (a−1)2(b−1)2, y en consecuencia
el determinante se anula cuando a = 1 (para cualquier b) y cuando b = 1 (para cualquier a).
o
Matemáticas de 1 , problemas 35 Alberto del Valle Robles
2 AUTOVALORES Y AUTOVECTORES; DIAGONALIZACIÓN
2. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES; DIAGONALIZACIÓN
1. Di qué son los autovalores y autovectores de una matriz cuadrada A, y di cómo se pueden calcular.
Solución: Un autovalor es un escalar λ para el cual existen vectores-columna no nulos ~v con
A~v = λ~v, y los vectores que satisfacen esta igualdad son los autovectores asociados al autovalor λ.
Los autovalores son las ráıces del polinomio caracteŕıstico p(λ) = det(λ In−A), donde n es el tamaño
de la matriz. Si λ0 es una de estas ráıces, los correspondientes autovectores son las soluciones del
sistema homogéneo de ecuaciones lineales con matriz de coeficientes λ0 In −A.
o
2. Para una matriz cuadrada A, ¿que significa que ~v sea un autovector asociado al autovalor λ?
Comprueba que ~v =
(
7
5
)
es un autovector de A =
(
53 −70
35 −46
)
; ¿cuál es el autovalor asociado?
Solución: Significa que ~v 6= ~0 y A~v = λ~v. En el caso concreto que se da, haciendo el producto A~v
se obtiene
(
21
15
)
, que claramente es 3~v, por lo que ~v es un autovector de A asociado al autovalor 3.
o
3. Para una matriz cuadrada A, ¿que significa que ~v sea un autovector asociado al autovalor λ?
Comprueba que ~v =
(
3
5
)
es un autovector de A =
(
179 −99
255 −139
)
; ¿cuál es el correspondiente
autovalor?
Solución: Significa que ~v 6= ~0 y A~v = λ~v. En el caso concreto que se da, haciendo el producto A~v se
obtiene
(
42
70
)
, que claramente es 14~v, por lo que ~v es un autovector de A asociado al autovalor 14.
o
4. Si ~v y ~w son autovectores de la matriz cuadrada A, ambos asociados al autovalor λ, se pide:
¿Es ~v + ~w un autovector de A? En caso afirmativo, ¿cuál es el autovalor asociado?
¿Es ~v un autovector de la matriz 3A? En caso afirmativo, ¿cuál es el autovalor asociado?
Solución: Como ~v y ~w son autovectores de A asociados a λ, se tiene A~v = λ~v y A~w = λ~w.
Entonces:
A · (~v+ ~w) = A~v+A~w = λ~v+λ~w = λ(~v+ ~w), por lo que ~v+ ~w es autovector de A con autovalor λ.
3A · ~v = 3 ·A~v = 3 · λ~v = 3λ · ~v, por lo que ~v es autovector de 3A con autovalor 3λ.
o
Matemáticas de 1 , problemas 36 Alberto del Valle Robles
	AUTOVALORES Y AUTOVECTORES; DIAGONALIZACIÓN