Matem1 Problemas Resueltos Algebra (Junio 2023) (23)

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2 AUTOVALORES Y AUTOVECTORES; DIAGONALIZACIÓN
Para el autovalor doble λ = 7 la matriz 7I − A tiene las tres filas proporcionales a (1 − 1 1) y
por tanto ~v = (1, 1, 0) y ~w = (0, 1, 1) son autovectores básicos para λ = 7, lo que se comprueba
fácilmente observando que A~v (suma de las dos primeras columnas de A) coincide con 7~v y que A~w
(suma de las dos últimas columnas de A) coincide con 7~w.
Pero los necesitamos ortogonales entre śı. Para ello se les puede aplicar el algoritmo de Gram-
Schmidt, cambiando ~w por
~w − ~w · ~v‖~v‖2 ~v = ~w −
1
2
~v o mejor por su doble ~w ′ = 2~w − ~v = (−1, 1, 2)
Para el autovalor simple λ = 1 hay que calcular el núcleo de
1I−A =


−4 −2 2
−2 −4 −2
2 −2 −4

→


1 −1 −2
−1 −2 −1
−2 −1 1

→


1 −1 −2
0 −3 −3
0 −3 −3

→
(
1 −1 −2
0 1 1
)
→
(
1 0 −1
0 1 1
)
y como solución básica podemos tomar ~u = (1,−1, 1). No está de más comprobar que satisface
A~u = 1~u y que es ortogonal a ~v y a ~w ′.
Por tanto, las matrices D = diag(7, 7, 1) =


7 0 0
0 7 0
0 0 1

 y P = [~v, ~w ′, ~u] =


1 −1 1
1 1 −1
0 2 1


satisfacen las condiciones pedidas.
o
57. Diagonaliza ortogonalmente la matriz A =


5 2 −1
2 2 2
−1 2 5

.
Solución: Calculamos el polinomio caracteŕıstico aprovechando que tiene suma constante en las
filas:
|λI −A| =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
λ− 5 −2 1
−2 λ− 2 −2
1 −2 λ− 5
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
λ− 6 −2 1
λ− 6 λ− 2 −2
λ− 6 −2 λ− 5
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
λ− 6 −2 1
0 λ −3
0 0 λ− 6
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= λ(λ− 6)2
Por tanto hay un autovalor doble λ = 6 y un autovalor simple λ = 0. Para el autovalor simple,
resolviendo el sistema homogéneo con matriz A se obtiene un autovector básico (1,−2, 1). Para
el autovalor doble, el sistema con matriz 6I − A se reduce a la ecuación x − 2y + z = 0, para la
que encontramos por ejemplo los autovectores básicos (2, 1, 0) y (0, 1, 2). Aplicando el método de
Gram-Schmidt podemos cambiar el segundo por (−1, 2, 5) para que sean ortogonales, con lo que
obtenemos las siguientes matrices
D =


0 0 0
0 6 0
0 0 6

 P =


1 2 −1
−2 −1 2
1 0 5


con D diagonal, P invertible con columnas ortogonales y AP = PD.
No es casual que el vector básico ~v = (1,−2, 1) de λ = 0 lleve los coeficientes de la ecuación
x− 2y + z = 0 de λ = 6, porque los vectores de este último plano han de ser ortogonales a ~v.
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2 AUTOVALORES Y AUTOVECTORES; DIAGONALIZACIÓN
Tampoco es necesario usar Gram-Schmidt, pues tomando por ejemplo ~w = (2, 1, 0) como solución
de x− 2y + z = 0, como tercer vector podemos tomar directamente el producto vectorial ~v × ~w =
(−1, 2, 5).
también se puede tomar por ejemplo ~w = (1, 1, 1) y como tercer vector valdŕıa (−1, 0, 1).
o
58. Diagonaliza ortogonalmente la matriz A =


1 −4 8
−4 7 4
8 4 1

.
Solución: Como es simétrica, sabemos que va a ser diagonalizable ortogonalmente. En vista de
los 4’s y −4’s, calculamos el polinomio caracteŕıstico haciendo primero C1 + C3 y luego F3 − F1:
p(λ) =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
λ− 1 4 −8
4 λ− 7 −4
−8 −4 λ− 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
λ− 9 4 −8
0 λ− 7 −4
λ− 9 −4 λ− 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
λ− 9 4 −8
0 λ− 7 −4
0 −8 λ+ 7
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
(λ− 9)
∣
∣
∣
∣
λ− 7 −4
−8 λ+ 7
∣
∣
∣
∣
= (λ− 9)(λ2 − 49− 32) = (λ− 9)(λ2 − 81) = (λ− 9)2(λ+ 9)
Por tanto los valores propios son 9 (doble) y −9 (simple). Los vectores propios asociados a λ = 9 y
a λ = −9 son las soluciones de los sistemas homogéneos siguientes:
(9I −A) =


8 4 −8
4 2 −4
−8 −4 8

→
(
2 1 −2
)
 


x
y
z

 = β


1
0
1

+ γ


0
2
1


y aplicando Gram-Schmidt podemos cambiar el segundo por (−1, 4, 1).
(−9I −A) =


−10 4 −8
4 −16 −4
−8 −4 −10

→


−10 4 −8
−36 0 −36
−18 0 −18

→
(
1 0 1
−5 2 −4
)
→
(
1 0 1
0 2 1
)
Tomando y = α se obtiene z = −2α y x = −z = 2α, por lo que las soluciones son los múltiplos del
vector-columna (2, 1,−2)t.
En consecuencia, unas matrices D (diagonal) y P (invertible con columnas ortogonales) con AP =
PD son
D =


9 0 0
0 9 0
0 0 −9

 y P =


1 −1 2
0 4 1
1 1 −2


o
Matemáticas de 1 , problemas 68 Alberto del Valle Robles
2 AUTOVALORES Y AUTOVECTORES; DIAGONALIZACIÓN
59. Diagonaliza ortogonalmente la matriz simétrica A =


3 −2 −2
−2 3 −2
−2 −2 3

.
Solución: Veamos dos formas de calcular el polinomio caracteŕıstico y los autovalores:
Una opción consiste en empezar con F1 + (F2 + F3) y hacer luego C2 − C1 y C3 − C1:
p(λ) = |λI−A| =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
λ− 3 2 2
2 λ− 3 2
2 2 λ− 3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
λ+ 1 λ+ 1 λ+ 1
2 λ− 3 2
2 2 λ− 3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
λ+ 1 0 0
2 λ− 5 0
2 0 λ− 5
∣
∣
∣
∣
∣
∣
de modo que p(λ) = (λ+ 1)(λ− 5)2 y por tanto los autovalores son 5 (doble) y −1 (simple).
Otra opción, que por supuesto da los mismos autovalores, es hacer primero F1−F3 y luego C3+C1:
p(λ) = |λI−A| =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
λ− 3 2 2
2 λ− 3 2
2 2 λ− 3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
λ− 5 0 5− λ
2 λ− 3 2
2 2 λ− 3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
λ− 5 0 0
2 λ− 3 4
2 2 λ− 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
= (λ− 5)
∣
∣
∣
∣
λ− 3 4
2 λ− 1
∣
∣
∣
∣
= (λ− 5)(λ2 − 4λ− 5) = (λ− 5)2(λ+ 1)
Para el autovalor doble λ = 5 la matriz 5I − A tiene las tres filas proporcionales a (1 1 1) y por
tanto ~v = (1,−1, 0) y ~w = (1, 0,−1) son autovectores básicos, pero los necesitamos ortogonales
entre śı. Para ello se les puede aplicar el algoritmo de Gram-Schmidt, cambiando ~w por
~w − ~w · ~v‖~v‖2 ~v = ~w −
1
2
~v o mejor por su doble 2~w − ~v = (1, 1,−2)
Una alternativa consiste en notar que buscamos dos vectores ortogonales entre śı y ortogonales a
~u = (1, 1, 1), por ser soluciones del sistema con matriz (1 1 1). Entonces basta con encontrar un
primer vector ortogonal a ~u, como el ~v anterior, y tomar entonces como segundo vector el producto
vectorial ~u× ~v = (1, 1,−2).
Para el autovalor simple λ = −1 podemos tener claro que ~u = (1, 1, 1) es un autovector porque las
filas de A tienen suma constante igual a −1, o porque debe salir un vector ortogonal a los que son
soluciones del sistema con matriz (1 1 1). Si no vemos esto, basta con calcular el núcleo de
−I−A =


−4 2 2
2 −4 2
2 2 −4

→


1 1 −2
1 −2 1
−2 1 1

→


1 1 −2
0 −3 3
0 3 −3

→
(
1 1 −2
0 1 −1
)
etc.
En definitiva, podemos tomar las matrices D =


5 0 0
0 5 0
0 0 −1

 (diagonal) y P =


1 1 1
−1 1 1
0 −2 1


(invertible y con columnas ortogonales dos a dos) que verifican AP = PD.
o
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