Matem1 Problemas Resueltos Algebra (Junio 2023) (35)

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3 GEOMETRÍA
y multiplicando en cruz tenemos por ejemplo y− 9 = −2x+22 y z− 10 = −x+11, por lo que unas
ecuaciones impĺıcitas son
{
2x+ y = 31
x+ z = 21
}
. Podemos comprobar que efectivamente las coordenadas
de P y de Q las satisfacen, por lo que esa es ciertamente la recta que pasa por P y por Q.
o
50. Calcula la ecuación paramétrica de la recta ℓ de R3 que pasa por el punto P = (5, 17, 11) y corta
perpendicularmente a la recta ℓ′ de ecuación continua
x− 2
2
=
y − 1
3
=
z + 1
5
Solución: El punto de corte de ℓ y ℓ′ debe estar en ℓ′ y por tanto debe ser de la forma
Q = (2, 1,−1) + λ(2, 3, 5) = (2 + 2λ , 1 + 3λ , −1 + 5λ) para cierto escalar λ
Como ℓ debe pasar por P y por Q, su vector director será
~v =
−−→
PQ = (2 + 2λ , 1 + 3λ , −1 + 5λ)− (5, 17, 11) = (−3 + 2λ , −16 + 3λ , −12 + 5λ)
Este debe ser perpendicular al vector director de ℓ′, que es ~w = (2, 3, 5). O sea, se tiene que cumplir
0 = ~v · ~w = 2(−3 + 2λ) + 3(−16 + 3λ) + 5(−12 + 5λ) = −114 + 38λ
por lo que debe ser λ = 3 y por tanto Q = (8, 10, 14) y ~v =
−−→
PQ = (3,−7, 3).
Por tanto ℓ es la recta que une P y Q, de ecuación paramétrica (x, y, z) = (5, 7, 11) + λ(3,−7, 3).
o
51. En R3 se considera la recta ℓ de ecuaciones impĺıcitas
{
x− 2y = 1
3x− 2y − z = 9
}
.
Calcula unas ecuaciones paramétricas de ℓ, la proyección ortogonal del punto Q = (11, 8, 8) sobre ℓ
y la distancia d(Q, ℓ).
Solución: En vista de las paramétricas, el plano π pasa por el punto P = (4, 2, 8) y su dirección
viene marcada por los vectores ~v = (2, 1, 5) y ~w = (0, 1, 2), por lo que su ecuación impĺıcita es
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2 0 x
1 1 y
5 2 z
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2 0 4
1 1 2
5 2 8
∣
∣
∣
∣
∣
∣
o sea 3x+ 4y − 2z = 4
Para la proyección ortogonal hay que considerar la recta ℓ que pasa por Q y es perpendicular a
π, por lo que su vector director será el vector normal ~n = (3, 4,−2) y por tanto sus ecuaciones
paramétricas serán (x, y, z) = (8 + 3α , 11 + 4α , 3− 2β).
La proyección ortogonal Q′ es entonces el punto en el que se cortan π y ℓ. Para calcularlo podemos
sustituir las ecuaciones paramétricas de ℓ en la impĺıcita de π para obtener
4 = 3(8 + 3α) + 4(11 + 4α)− 2(3− 2β) = (9 + 16 + 4)α+ (24 + 44− 6) = 29α+ 62
de donde 29α = −58 y por tanto α = −2, de modo que la proyección ortogonal es Q′ = (2, 3, 7).
La distancia es ‖
−−→
QQ′‖ = ‖(−6,−8, 4)‖ = 2‖(−3,−4, 2)‖ = 2
√
9 + 16 + 4 = 2
√
29.
o
Matemáticas de 1 , problemas 103 Alberto del Valle Robles
3 GEOMETRÍA
52. En R3 se consideran las rectas ℓ1 y ℓ2 con ecuaciones impĺıcitas
ℓ1 ≡
{
x+ y − 5z = −20
3x− y + z = 16
}
ℓ2 ≡
{
x+ y − 2z = 1
7x+ y + z = 25
}
Encuentra los puntos P1 ∈ ℓ1 y P2 ∈ ℓ2 por los que pasa su perpendicular común (no es necesario
comprobar previamente que se cruzan).
Solución: Empezamos buscando ecuaciones paramétricas de cada recta, para lo que resolvemos
los correspondientes sistemas:
ℓ1 :
(
1 1 −5 −20
3 −1 1 16
)
→
(
1 1 −5 −20
0 −4 16 76
)
→
(
1 1 −5 −20
0 1 −4 −19
)
→
(
1 0 −1 −1
0 1 −4 −19
)
ℓ2 :
(
1 1 −2 1
7 1 1 25
)
→
(
1 1 −2 1
0 −6 15 18
)
→
(
1 1 −2 1
0 2 −5 −6
)
→
(
1 0 1/2 4
0 2 −5 −6
)
Aśı, ℓ1 pasa por Q1 = (−1,−19, 0) y tiene vector director ~v1 = (1, 4, 1), mientras que ℓ2 pasa por
Q2 = (4,−3, 0) y tiene vector director (−1/2, 5/2, 1) o mejor su doble ~v2 = (−1, 5, 2). Por tanto los
puntos que buscamos serán de la forma
P1 = Q1 + α~v1 = (−1 + α , −19 + 4α , α) P2 = Q2 + β~v2 = (4− β , −3 + 5β , 2β)
para ciertos valores de α y de β, y además queremos que el vector que determinan
−−−→
P1P2 = (5− β − α , 16 + 5β − 4α , 2β − α)
sea ortogonal a ambas rectas, o sea sea ortogonal a ~v1 y a ~v2. Las condiciones ~v1 ·
−−−→
P1P2 = 0 y
~v2 ·
−−−→
P1P2 = 0 dan lugar a dos ecuaciones en las incógnitas α y β con solución única α = 5, β = 1 y
por tanto los puntos buscados son los que se obtienen para estos valores, o sea
P1 = (4, 1, 5) P2 = (3, 2, 2)
o
53. En R3 se consideran la recta ℓ1 de ecuaciones
{
x+ y − 4z = 7
2x− y − 2z = 5
}
y la recta ℓ2 que pasa por el
punto P2 = (1, 15, 0) y tiene vector director ~v2 = (1,−2, 2). Se pide:
a) Encuentra un punto por el que pase ℓ1 y un vector director de ℓ1.
b) Calcula la recta perpendicular común a ℓ1 y ℓ2, y los puntos en los que esta corta a ℓ1 y a ℓ2.
Solución: a) Resolviendo el sistema de ℓ1 del modo habitual:
(
1 1 −4 7
2 −1 −2 5
)
→
(
1 1 −4 7
0 −3 6 −9
)
→
(
1 1 −4 7
0 1 −2 3
)
→
(
1 0 −2 4
0 1 −2 3
)
y asignando un parámetro a z se ve que pasa por P1 = (4, 3, 0) con vector director ~v1 = (2, 2, 1).
Resolviendo de otras formas se encontrarán otros puntos y el mismo vector, o uno proporcional.
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3 GEOMETRÍA
b) Buscamos un punto Q1 = P1+α~v1 en la primera recta y otro punto Q2 = P2+β~v2 en la segunda
tales que el vector que los une sea perpendicular a ~v1 y a ~v2. El vector que los une es:
−−−→
Q1Q2 =
−−−→
P1P2 + β~v2 − α~v1 = (−3, 12, 0) + β(1,−2, 2)− α(2, 2, 1)
y la perpendicularidad a ~v1 y ~v2 nos da las ecuaciones:
0 =
−−−→
Q1Q2 · ~v1 = (−6 + 24 + 0) + (2− 4 + 2)β − (4 + 4 + 1)α = 18− 9α
0 =
−−−→
Q1Q2 · ~v2 = (−3− 24 + 0) + (1 + 4 + 4)β − (2− 4 + 2)α = −27 + 9β
Por tanto se tiene α = 2 y β = 3 y los puntos buscados son
Q1 = P1 + 2~v1 = (8, 7, 2) Q2 = P2 + 3~v2 = (4, 9, 6)
La perpendicular común ℓ es la recta que pasa por Q1 y por Q2.
o
54. En R3 se consideran la recta ℓ1 de ecuaciones
{
x− 2y + 2z = −2
2x− y − 2z = 5
}
y la recta ℓ2 que pasa por el
punto P2 = (5, 7, 8) y tiene vector director ~v2 = (1,−2, 2). Se pide:
a) Encuentra un punto por el que pase ℓ1 y un vector director de ℓ1.
b) Calcula la recta perpendicular común a ℓ1 y ℓ2, y los puntos en los que esta corta a ℓ1 y a ℓ2.
Solución: a) Resolviendo el sistema de ℓ1 del modo habitual:
(
1 −2 2 −2
2 −1 −2 5
)
→
(
1 −2 2 −2
0 3 −6 9
)
→
(
1 −2 2 −2
0 1 −2 3
)
→
(
1 0 −2 4
0 1 −2 3
)
y asignando un parámetro a z se ve que pasa por P1 = (4, 3, 0) con vector director ~v1 = (2, 2, 1).
b) Buscamos un punto Q1 = P1+α~v1 en la primera recta y otro punto Q2 = P2+β~v2 en la segunda
tales que el vector que los une sea perpendicular a ~v1 y a ~v2. El vector que los une es:
−−−→
Q1Q2 =
−−−→
P1P2 + β~v2 − α~v1 = (1, 4, 8) + β(1,−2, 2)− α(2, 2, 1)
y la perpendicularidad a ~v1 y ~v2 nos da las ecuaciones:
0 =
−−−→
Q1Q2 · ~v1 = (2 + 8 + 8) + (2− 4 + 2)β − (4 + 4 + 1)α = 18− 9α
0 =
−−−→
Q1Q2 · ~v2 = (1− 8 + 16) + (1 + 4 + 4)β − (2− 4 + 2)α = 9 + 9β
Por tanto se tiene α = 2 y β = −1 y los puntos buscados son
Q1 = P1 + 2~v1 = (8, 7, 2) Q2 = P2 − ~v2 = (4, 9, 6)
La perpendicular común ℓ es la recta que pasa por Q1 y por Q2, y claramente estos son los puntos
donde esa perpendicular común ℓ corta a ℓ1 y a ℓ2, respectivamente.
o
Matemáticas de 1 , problemas 105 Alberto del Valle Robles