Álgebra Lineal Mora (35)

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Álgebra lineal
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en donde las variables u1, u2, …, un�l, llamadas variables libres, son un reordenamien-
to de las originales que son diferentes de xk1, xk2, …, xkl. Todas las soluciones del sis-
tema representado por A se obtienen dando valores a u1, u2, …, un�l y despejando 
xk1, ..., xkl de las ecuaciones correspondientes.
Ejemplo 1.3.7. Sea A � 
1 0 0 0 3 4
0 1 2 0 2 5
0 0 0 1 �1 6
 la matriz aumentada de un
sistema de ecuaciones en las variables x1, x2, x3, x4 y x5. Escriba el sistema representado 
por A y diga si tiene soluciones, en caso afi rmativo encuéntrelas todas.
Discusión. El sistema representado por A es:
x1 	 0x2 	 0x3 	 0x4 	 3x5 � 4
 0x1 	 x2 	 2x3 	 0x4 	 2x5 � 5 (1.29)
 0x1 	 0x2 	 0x3 	 x4 � x5 � 6
Note que la matriz A está en forma escalonada reducida; la entrada principal de 
la última fi la no cero de A está antes de la última columna, por lo que el sistema tie-
ne solución. Las variables libres son x3 y x5 (¿por qué?). Entonces, todas las soluciones 
se obtienen despejando x1, x2 y x4 del sistema 1.29 y dando valores libremente a x3 
y a x5.
Solución única
De la discusión anterior se tiene que si el sistema tiene solución, ésta será única ⇔ no 
hay variables libres, y esto último ocurre ⇔ el número de fi las no cero es igual al nú-
mero de variables, en particular, si n � m, el sistema tiene solución única ⇔ las en-
tradas principales de la forma escalonada reducida de A aparecen en la posición (i, i), 
para i � 1, 2, …, n.
Sistema homogéneo
Un caso de importancia en el estudio de sistemas de ecuaciones lineales ocurre cuan-
do todos los términos independientes son cero, es decir, el sistema es de la forma:
 a11x1 	 a12x2 	 · · · 	 a1nxn � 0
 a21x1 	 a22x2 	 · · · 	 a2nxn � 0 (1.30)
 am1x1 	 am2x2 	 · · · 	 amnxn � 0
Note que el sistema 1.30 siempre tiene solución, entonces es importante saber 
cuándo tiene más de una solución. El siguiente resultado establece condiciones al res-
pecto.
Teorema 1.3.3. Sea A la matriz aumentada de un sistema homogéneo de m ecua-
ciones en n variables.
 1. Si m � n, entonces el sistema tiene más de una solución.
 2. Si el sistema tiene solución única, entonces n � m.