Álgebra Lineal Mora (36)

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Capítulo 1. Sistemas de ecuaciones lineales 
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Demostración. Cuando decimos que un sistema es en n variables, esto signifi ca que 
cada variable aparece en al menos una ecuación, lo cual se traduce diciendo que en 
la matriz A, ninguna de las n primeras columnas es cero. Note que si una columna es 
no cero, entonces por medio de operaciones elementales en las fi las tampoco puede 
transformarse en cero. Esto lleva a que la forma escalonada reducida de A tiene todas 
las primeras n columnas diferentes de cero.
Si m < n, por el principio de las casillas,4 al menos una fi la de la forma escalonada 
reducida de A contiene dos o más entradas no cero, es decir, el sistema tiene al menos 
una variable libre, concluyéndose que tiene más de una solución.
 
Solución general de un sistema no homogéneo
Una ecuación típica del sistema representado por A es:
 ai1x1 	 ai2x2 	 · · · 	 ainxn � bi (1.31)
Supongamos que el sistema tiene solución y denotemos a una de éstas por C � (c1, 
c2, …, cn). De la defi nición de solución se tiene:
 ai1c1 	 ai2c2 	 · · · 	 aincn � bi (1.32)
para todo i � 1, 2, …, m.
Sea A1 la matriz que tiene sus primeras n columnas iguales a las de A, y la última 
es cero. Podemos considerar que A1 representa un sistema homogéneo. La ecuación 
número i de este sistema es:
 ai1x1 	 ai2x2 	 · · · 	 ainxn � 0 (1.33)
Sea D � (d1, d2, …, dn) cualquier solución del sistema representado por A1, es decir,
 ai1d1 	 ai2d2 	 · · · 	 aindn � 0 (1.34)
para todo i � 1, 2, …, m.
Sumando las ecuaciones (1.32) y (1.34) se tiene que C 	 D :� (c1 	 d1, c2 	 d2, …, 
cn 	 dn) es solución del sistema representado por A.
Si K � (k1, k2, …, kn) es otra solución del sistema representado por A, entonces:
 ai1k1 	 ai2k2 	 · · · 	 ainkn � bi (1.35)
para todo i � 1, 2, ..., m. Restando la ecuación (1.32) de la ecuación (1.35) y agrupando 
se tiene:
 ai1(k1 � c1) 	 ai2(k2 � c2) 	 · · · 	 ain(kn � cn) � 0 (1.36)
es decir, K � C :� (k1 � c1, k2 � c2, …, kn � cn) es solución del sistema homogéneo repre-
sentado por A1.
 4 E1 principio de las casillas establece que si hay n objetos que se han de colocar en m casillas y m � n, entonces al menos 
una casilla contiene más de un objeto.