Álgebra Lineal Mora (37)

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Álgebra lineal
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La discusión anterior es la demostración del siguiente teorema.
Teorema 1.3.4. Sea A la matriz aumentada de un sistema de m ecuaciones en n va-
riables y A1 la matriz cuyas primeras n columnas coinciden con las de A y la última es 
cero. Si el sistema representado por A tiene una solución particular C � (c1, c2, …, cn) 
y el sistema homogéneo representado por A1 tiene por conjunto solución a W, entonces 
el conjunto solución del sistema representado por A es
W 	 C :� {w 	 C | w � W}
Ejemplo 1.3.8. Determine si el sistema:
 x1 	 2x2 	 3x3 + 4x4 	 5x5 � 10
 2x1 	 4x2 	 6x3 	 8x4 	 10x5 � 20
 �x1 � 2x2 � 2x3 � x4 	 3x5 � 4
tiene solución. En caso afi rmativo, obténgalas todas.
Discusión. La matriz aumentada es 
 1 2 3 4 5 10
 2 4 6 8 10 20
�1 �2 �2 �1 3 4
Aplicando operaciones elementales se tiene:
 1 2 3 4 5 10
 2 4 6 8 10 20
�1 �2 �2 �1 3 4 
� 
 1 2 3 4 5 10
 0 0 0 0 0 0
 0 0 1 3 8 14
 1 2 3 4 5 10
 0 0 1 3 8 14
 0 0 0 0 0 0 
� 
 1 2 0 �5 �19 �32
 0 0 1 3 8 14
 0 0 0 0 0 0
La última matriz representa al sistema:
 x1 	 2x2 	 0x3 � 5x4 � 19x5 � �32
 0x1 	 0x2 	 x3 	 3x4 	 8x5 � 14
 0x1 	 0x2 	 0x3 	 0x4 	 0x5 � 0
Es inmediato verifi car que C � (�32, 0, 14, 0, 0) es solución de este sistema.
De acuerdo con el teorema 1.3.4, todas las soluciones del sistema anterior se ob-
tienen sumando C � (�32, 0, 14, 0, 0) a las soluciones del sistema homogéneo:
 x1 	 2x2 	 0x3 � 5x4 � 19x5 � 0
 0x1 	 0x2 	 x3 	 3x4 	 8x5 � 0