Álgebra Lineal Mora (60)

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Capítulo 2. Matrices
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Teorema 2.2.2. Sea A una matriz n � n. Demuestre que las siguientes condiciones 
son equivalentes.
 1. La matriz A tiene inversa.
 2. La matriz A es equivalente por fi las a In.
 3. La matriz A es producto de matrices elementales.
 4. El sistema AX � 0 tiene solución única.
 5. Para todo B � 
b1
b2
bn
· ·
 · , el sistema AX � B tiene solución única. 
Defi nición 2.2.3. Sea A � (aij) una matriz m � n. Se defi ne la transpuesta de A, deno-
tada At � (bij), como la matriz que satisface bij � aji para todos i � 1, 2, ..., n y j � 1, 2, ..., 
m. Si A es una matriz tal que At � A (At � �A) , diremos que A es simétrica (antisimétrica). 
Note que en estos casos necesariamente A es cuadrada.
Observación 2.2.4. Para que una matriz A sea simétrica o antisimétrica es necesario 
que sea cuadrada. Si A es antisimétrica, entonces los elementos de la diagonal aii son cero. 
Si A es cualquier matriz cuadrada, entonces las matrices B � At 	 A y C � At � A son simé-
trica y antisimétrica respectivamente. ¿Se puede expresar A en términos de B y C?
Ejemplo 2.2.4.
Si A � 
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
 , entonces At � 
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 a24 a34
 
Algunas propiedades de la transpuesta y de la traza
Los siguientes enunciados y preguntas conciernen a la transpuesta y traza de una ma-
triz. Sugerimos al lector que discuta lo que se plantea.
 1. Sean A y B matrices tales que el producto AB está defi nido. Demuestre que (AB)t 
� BtAt.
 2. Si A es una matriz cuadrada que tiene inversa, ¿tiene inversa At?
 3. Para una matriz cuadrada A se defi ne su traza, denotada tr(A) :� 
i
n
�1
∑aii. ¿Cuándo 
es cero la traza de AAt?
 4. Si A y B son matrices cuadradas, calcule tr(AB) y tr(BA). ¿Hay alguna relación en-
tre estos números?
 5. ¿Puede tener traza cero una matriz que tiene inversa?
 6. ¿Es correcta la ecuación tr(A 	 B) � tr(A) 	 tr(B)?
 7. ¿Existen matrices n � n, A y B tales que AB � BA � In?
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