Apuntes algebra lineal y geometria vega (94)

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90 LECCIÓN 3. LA TEORÍA DEL ENDOMORFISMO
3.3.1 Ejercicios
Ejercicio 3.3.1.1
Dar cuatro subespacios invariantes por la aplicación p del ejercicio 3.2.1.5.
Ejercicio 3.3.1.2
Se considera el endomorfismo de R3 que tiene por matriz asociada respecto de la base canónica la
siguiente.
A =
0
@
0 0 0
0 0 �1
0 1 0
1
A
1. Comprobar que el polinomio caracteŕıstico de f es pf (X) = X(X2 + 1).
2. Determinar ker(f) y ker(f2 + IR3).
3. Probar que los subespacios anteriores son f -invariantes.
4. Comprobar que ker(f) = im(f2 + IR3) y im(f) = ker(f2 + IR3).
Ejercicio 3.3.1.3
Construir un endomorfismo f de V = R5 tal que los subespacios
U = h{u1 = (1, 1, 1, 1, 0), u2 = (�1,�1,�1,�1,�1)}i
W = h{w1 = (1, 1, 1, 0, 0), w2 = (0, 1, 1, 0, 0), w3 = (0, 0,�1, 0, 0)}i
sean f -invariantes y la base B = {u1, u2, w1, w2, w3} no sea de vectores propios.
Escribir la matriz asociada a f respecto de la base B.
Ejercicio 3.3.1.4
Sea f el endomorfismo de V = R3[X] que a cada polinomio le asocia su polinomio derivado.
1. Probar que V1 = R2[X] es un subespacio f -invariante de V = R3[X].
2. Sea f1 la restricción de f a V1 = R2[X]. Determinar el polinomio caracteŕıstico y el polinomio
mı́nimo de f1.
3.4 Endomorfismos nilpotentes. Forma canónica de Jordan
En la determinación de una base de un espacio vectorial respecto de la cuál un endomorfismo dado
venga expresado por una matriz “casi–diagonal”, se hace uso de ciertos endomorfismos denominados
nilpotentes, concepto que introduciremos después de las siguientes observaciones:
• Si f es un endomorfismo de V , ker(f r) ⇢ ker(f r+s) si 0  s.
• Existen endomorfismos cuyo polinomio caracteŕıstico es de la forma Xn, lo que conlleva que una
potencia de dicho endomorfismo sea la aplicación nula: El endomorfismo f de R4 definido por
f(e1) = 0, f(e2) = e1, f(e3) = e2, f(e4) = 0 es un endomorfismo cuyo polinomio mı́nimo es X3.
• Si un endomorfismo f tiene polinomio mı́nimo (X � ↵)s, el endomorfismo g = f � ↵I tiene por
polinomio mı́nimo Xs.