Apuntes algebra lineal y geometria vega (99)

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3.4. ENDOMORFISMOS NILPOTENTES. FORMA CANÓNICA DE JORDAN 95
3. La matriz por cajas obtenida en 2. recibe el nombre de matriz de Jordan de f , y es única salvo
“reordenación” de los elementos (j, j) y (j, j + 1).
Es inmediato que en términos de matrices el enunciado precedente se expresa diciendo que toda
matriz A (de tamaño n⇥ n con PA(X) y mA(X) como los de la proposición anterior) es semejante a
una matriz por cajas como la detallada en el último punto 2.
Ejemplo 3.4.3
Este ejemplo tiene como próposito el avisar sobre una cuestión que a veces puede llevar a errores.
Si el lector revisa detenidamente los casos que aparecen cuando se determina la forma de Jordan de
una matriz 3⇥ 3, podrá observar lo siguiente. Si dos matrices tienen igual polinomio caracteŕıstico y
el número de 10s y 00s por encima de dicha diagonal coinciden, las matrices son semejantes. Pues la
advertencia es que este hecho no es generalizable cuando el tamaño de las matrices aumenta, como se
muestra mediante las matrices dadas a continuación.
A =
0
BBBB@
0 1 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
1
CCCCA
, B =
0
BBBB@
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1
CCCCA
Es obvio que las matrices A y B tienen el mismo polinomio caracteŕıstico y el mismo número de 10s y
00s por encima de dicha diagonal, sin embargo los polinomios mı́nimos son diferentes: mA(X) = X3
y mB(X) = X4, de donde se desprende que A y B no son semejantes.
3.4.1 Ejercicios
Ejercicio 3.4.1.1
Dar una matriz A de tamaño 3 ⇥ 3 y una matriz 4 ⇥ 4 con coeficientes reales tales que ambas sean
nilpotentes de ı́ndice 2.
Ejercicio 3.4.1.2
Se consideran las aplicaciones f y f1 del ejercicio 3.3.1.4. ¿Son endomorfismos nilpotentes? ¿De qué
ı́ndices?
Ejercicio 3.4.1.3
Sean fi con i = 1, · · · , 6 los endomorfismos de R3 que, respecto de la base canónica, tienen asociadas
respectivamente las matrices Ai (i = 1, · · · , 6) siguientes.
A1 =
0
@
1 0 0
1 2 0
2 2 4
1
A A2 =
0
@
4 2 1
0 0 �2
0 4 6
1
A A3 =
0
@
6 �2 0
4 0 0
1 3 4
1
A
A4 =
0
@
2 0 0
0 2 0
0 0 2
1
A A5 =
0
@
2 2 2
0 2 0
0 0 2
1
A A6 =
0
@
8 4 2
�2 2 0
�2 �2 2
1
A
1. Determinar el polinomio caracteŕıstico y el polinomio mı́nimo de cada fi.
2. Hallar para cada fi una base de R3 respecto de la cual la matriz asociada a fi sea de Jordan.
3. Establecer la forma de Jordan de cada uno de los endomorfismos anteriores.