Apuntes algebra lineal y geometria vega (18)

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14 LECCIÓN 1. ESPACIOS VECTORIALES
Sobre el concepto dado a continuación se insistirá en lecciones posteriores, pero lo visto en el
resultado anterior permite introducirlo aqúı:
Definición 1.3.3
Sea V un K–espacio vectorial y B = {u1, . . . , un} una base de V . Por la proposición precedente, se
sabe que la forma de escribir un vector cualquiera v 2 V como
v = ↵1u1 + ↵2u2 + . . .+ ↵nun
es única. Tal unicidad permite establecer esta nueva definición.
La n-upla (↵1,↵2, · · · ,↵n) 2 Kn recibe el nombre de coordenadas de v respecto de la base B.
A la vista de todo lo anterior se debe indicar aqúı que, si bien la definición de base se ha realizado
para un conjunto de vectores, a partir de ahora el orden en el que se escriben los vectores en una base
es importante puesto que ese orden marca quienes han de ser las coordenadas de un vector respecto
de una base. Asi, si {u1, u2} es una base de un espacio vectorial V y las coordenadas de un vector v
son (↵1,↵2) entonces {u2, u1} también es una base de V y las coordenadas de v respecto de esta base
son (↵2,↵1).
Para cada uno los ejemplos de espacios vectoriales que hemos estado manejando hasta ahora, existe
una “base canónica”, una base que es especialmente sencilla de describir y respecto de la cuál es fácil
expresar cualquier vector:
• En Kn, como K-espacio vectorial:
B = {e1, . . . , en} donde ei =
1 en lugar i)
z }| {
(0, · · · , 0, 1, 0, · · · , 0) 8 i
• En Mn,m(K), como K-espacio vectorial:
B = {A11, . . . , Anm} donde Aij =
0
BBBB@
0 · · · 0 · · · · · · 0
...
...
...
0 · · · 1 · · · · · · 0
...
...
...
0 · · · 0 · · · · · · 0
1
CCCCA
• En Kn[x], como K-espacio vectorial:
B = {1, x, x2, . . . , xn�1, xn}
A continuación se muestran, entre otras propiedades, que todo espacio vectorial de tipo finito tiene,
al menos, una base, que dos bases distintas de un mismo espacio vectorial tienen siempre el mismo
número de elementos (lo cual conduce al concepto de dimensión) y que toda familia libre de vectores
puede extenderse a una base.
Teorema 1.3.2
Sea V un K–espacio vectorial de tipo finito y S = {u1, . . . , um} un sistema de generadores de V .
Entonces existe un subconjunto T de S tal que T es una base de V .
Corolario 1.3.1
Todo espacio vectorial de tipo finito tiene una base.