Apuntes algebra lineal y geometria vega (21)

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1.3. INDEPENDENCIA LINEAL. BASES. 17
2. Demostrar que los vectores v1 = (�3, 1) y v2 = (1, 1) forman una base de R2.
3. Expresar cada vector de G en función de B = {v1, v2}. Representar gráficamente este resultado.
4. ¿Seŕıa correcto decir que B es una base de G?
Ejercicio 1.3.1.6
En R3 se consideran los conjuntos de vectores:
B = {(0, 0, 1), (0, 2, 1), (3, 2, 1)} y B0 = {(2, 1, 0), (0, 2, 1), (2, 0, 1)}
1. Probar que B es base de R3.
2. Escribir, si es posible, cada vector de B en función de B0.
3. ¿Si v es combinación lineal de B, v es combinación lineal de B0?
4. ¿Es B0 sistema generador de R3? ¿Es B0 base de R3?
Ejercicio 1.3.1.7
Sea V el R-espacio vectorial M2⇥3(R) de las matrices de tamaño 2 ⇥ 3 con coeficientes reales, y sea
U el siguiente subespacio de V
U = {
✓
a11 a12 a13
a21 a22 a23
◆
: a11 + a12 = 0, a21 + a22 � a23 = 0, a13 = 0}.
1. Escribir tres elementos (concretos) M1,M2,M3 de U que sean linealmente independientes.
2. ¿Todo vector de U se puede expresar de la forma
↵
✓
1 �1 0
0 0 0
◆
+ �
✓
0 0 0
1 0 1
◆
+ �
✓
0 0 0
0 1 1
◆
?
3. ¿Es posible añadir a las matrices M1,M2,M3 dadas en el primer apartado un cuarto elemento
M4 2 U tal que la familia {M1,M2,M3,M4} sea libre? Dar dos bases distintas de U .
4. ¿Es posible añadir a las matrices M1,M2,M3 dadas en el primer apartado un cuarto elemento
M4 2 V tal que la familia {M1,M2,M3,M4} sea libre (en V )?
5. Hallar vectores M4,M5,M6 de V tales que {M1,M2,M3,M4,M5,M6} sea base de V .
Ejercicio 1.3.1.8
Sea V = R3[X] es conjunto de polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual que 3. Dar
dos bases B y B0 diferentes de V y expresar cada vector de B como combinación lineal de los vectores
de B0 y rećıprocamente.
Ejercicio 1.3.1.9
¿Cuáles son las coordenadas del vector v = (1, 2, 3, 4) 2 R4 respecto de la base B = {v1.v2, v3, v4}
siendo v1 = (4, 3, 2, 1), v2 = (3, 2, 1, 0), v3 = (2, 1, 0, 0), v4 = (1, 0, 0, 0).
Ejercicio 1.3.1.10
Sean V un K-espacio vectorial y L = {v1, v2, · · · , v40} una parte libre de V . ¿Cuáles de las afirmaciones
siguientes son verdaderas?