Apuntes algebra lineal y geometria vega (22)

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18 LECCIÓN 1. ESPACIOS VECTORIALES
1. dim(V )� 40
2. Si L es sistema generador, entonces dim(V )= 40
3. dim(V )= 40
4. Existe S ⇢ L tal que S es sistema generador de V
Ejercicio 1.3.1.11
Sean V un K-espacio vectorial y sea S = {v1, v2, · · · , v6} un sistema generador de V . ¿Cuáles de las
afirmaciones siguientes son verdaderas?
1. dim(V ) 6
2. Si S parte libre, entonces dim(V )= 6
3. dim(V )> 6
Ejercicio 1.3.1.12
Se considera el R-espacio vectorial V = R4. ¿Cuáles de los siguientes subespacios de V tienen di-
mensión 2?
1. T1 = h{(1, 1, 1, 0), (�1, 2, 3,�1)}i
2. T2 = h{(1, 1, 0, 1), (�1, 2, 3, 0), (0,�3,�3,�1)}i
3. T3 = {(x, y, z, t) 2 V : 2x� y = 0, z + 2t = 0}
4. T4 = {(x, y, z, t) 2 V : 2x� y + z + 2t = 0}
1.4 Suma e intersección de subespacios. Suma directa
Si V es un K–espacio vectorial y U1 y U2 son subespacios vectoriales de V es muy fácil demostrar,
usando la proposición 1.2.1, que la intersección de U1 y U2, es decir U1\U2, es un subespacio vectorial
de V . Análogamente se obtiene el mismo resultado para la intersección de una familia cualquiera de
subespacios de V .
Sin embargo para la unión de subespacios no es posible asegurar un resultado análogo, como
muestra el siguiente ejemplo en el R-espacio vectorial R2:
U1 = h{u1 = (1, 1)}i, U2 = h{u2 = (1,�1)}i
u1 = (1, 1) 2 U1 [ U2 , u2 = (1,�1) 2 U1 [ U2 , u1 + u2 = (2, 0) 62 U1 [ U2
Este comportamiento de la unión de subespacios es lo que motiva la definición del subespacio suma
de U1 y U2 como
U1 + U2 = hU1 [ U2i
esto es, como el más pequeño de los subespacios de V que contienen a U1 [U2. Si U1 y U2 son de tipo
finito se tiene, de acuerdo con la definición de subespacio suma, que:
U1 = h{w1, . . . , ws}i, U2 = h{v1, . . . , vt}i =) U1 + U2 = h{w1, . . . , wm, v1, . . . , vt}i
A continuación se muestra la razón por la que a este nuevo subespacio se le denomina subespacio
suma: todo vector en U1 + U2 es suma de un vector en U1 y de otro vector en U2.