Apuntes algebra lineal y geometria vega (24)

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20 LECCIÓN 1. ESPACIOS VECTORIALES
Teorema 1.4.1 (Fórmula de Grasmann)
Sea V un K-espacio vectorial y U1 y U2 subespacios vectoriales de V . Entonces:
dim(U1 + U2) = dim(U1) + dim(U2)� dim(U1 \ U2)
Ya hemos mostrado que la suma de dos subespacios es directa si y sólo si la unión de las bases de
los subespacios es una base del subespacio. La siguiente proposición muestra como refinar el resultado
de la proposición 1.4.1 que describ́ıa de forma precisa los elementos del subespacio U1 + U2.
Proposición 1.4.2
Sea V un K-espacio vectorial y U1 y U2 subespacios vectoriales de V . Las siguientes afirmaciones son
equivalentes:
1. La suma de U1 y U2 es directa.
2. La unión de dos bases cualesquiera de U1 y U2 es una base de U1 + U2.
3. Todo vector de U1 + U2 se escribe, de forma única, como suma de un vector en U1 y de un
vector en U2.
Se finaliza el caṕıtulo generalizando todo lo anterior al caso de la suma de más de dos sube-
spacios. Para ello se nota en primer lugar que si se quieren mantener las propiedades 2 y 3 de la
proposición anterior no se puede definir la suma directa de s subespacios mediante condiciones sobre
sus intersecciones. Si en R3, como R–espacio vectorial, se consideran los subespacios
U1 = h{(1, 0, 0), (0, 0, 1)}i, U2 = h{(0, 1, 0)}i, U3 = h{(1, 1, 0)}i,
se tiene
U1 \ U2 \ U3 = U1 \ U2 = U2 \ U3 = U1 \ U3 = {0}
pero ni la unión de sus bases no es una base de U1+U2+U3, ni todo vector de U1+U2+U3 se escribe
de forma única como suma de un vector en U1, de un vector en U2 y de un vector en U3:
(0, 0, 0) = (0, 0, 0) + (0, 0, 0) + (0, 0, 0) = (1, 0, 0) + (0, 1, 0) + (�1,�1, 0)
Definición 1.4.2
Sea V un K-espacio vectorial y U1, . . . , Us subespacios vectoriales de V . Se dice que la suma de
U1, . . . , Us es directa, y escribiremos U1� . . .�Us, si todo vector de U1+ . . .+Us se escribe, de forma
única, como suma de un vector en U1, de un vector en U2, . . . , y de un vector en Us.
Proposición 1.4.3
Sea V un K-espacio vectorial y U1, . . . , Us subespacios vectoriales de V . Las siguientes afirmaciones
son equivalentes:
1. La suma de U1, . . . , Us es directa.
2. La unión de s bases cualesquiera de U1, . . . , Us es una base de U1 + . . .+ Us.
Notar finalmente que si la suma U1 + . . . + Us es directa entonces la intersección de cualquier
número de subespacios en {U1, . . . , Us} es igual a {0}.
Ejemplo 1.4.1