Apuntes algebra lineal y geometria vega (38)

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34 LECCIÓN 2. APLICACIONES LINEALES Y MATRICES
Ejercicio 2.1.1.2
Se considera la base de R3 siguiente
B = {v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 1,�1), v3 = (�2, 0, 3)}
y sea f : R3 ! R2 la aplicación que a cada vector v de R3 le asigna el vector w = f(v) = (a, b) donde
a y b son la primera y la segunda coordenada de v respecto de la base B
1. Determinar la imagen por f del vector v = (1, 3,�5) 2 R3
2. Demostrar que f es lineal
3. Determinar el conjunto de vectores de R3 cuya imagen es el vector (0, 0) 2 R2.
4. Completar la siguiente expresión
f(x, y, z) = (......, ......)
Ejercicio 2.1.1.3
Sea f : R3 ! R2 una aplicación. Señalar qué condiciones de las siguientes (consideradas una a una,
por separado) bastaŕıan para afirmar que f no es lineal.
1. f(0, 0, 0) = (1, 0)
2. f(1, 2, 1) = (1, 2), f(1, 0, 1) = (0, 0), f(2, 2, 2) = (2, 2)
3. f((x, y, z) + (x0, y0, z0)) = f(x, y, z) + f(x0, y0, z0)
4. f(4, 2, 0) = (1, 1) = f(2, 1, 0).
2.2 Núcleo e imagen. Fórmula de las dimensiones
Del concepto de aplicación lineal surgen dos subespacios de especial relevancia, cuyo estudio es el
objeto de esta sección.
Proposición 2.2.1
Sea f : V ! W una aplicación lineal. Los conjuntos
1. Núcleo de f :
ker(f) = {v 2 V : f(v) = 0}
2. Imagen de f :
im(f) = {f(v) : v 2 V }
son subespacios vectoriales de V y de W respectivamente.
La demostración de cada uno de los apartados de la proposición anterior no entraña ninguna dificultad
por lo que se deja como ejercicio para el lector.
Los siguientes ejemplos ilustran los conceptos anteriores. Sólo en el primero de ellos se justifica la
afirmación realizada, se pide al lector que trate de justificar el resto.