Apuntes algebra lineal y geometria vega (39)

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2.2. NÚCLEO E IMAGEN. FÓRMULA DE LAS DIMENSIONES 35
Ejemplo 2.2.1
• Si f : R3 ! R2 es la aplicación lineal definida por f(x, y, z) = (2x, 3x � z) entonces ker(f) =
h{(0, 1, 0)}i y im(f) = R2. Justifiquemos esa afirmación:
ker(f) = {(x, y, z) 2 R3 : f(x, y, z) = (0, 0)} =
= {(x, y, z) 2 R3 : (2x, 3x� z) = (0, 0)} =
{(x, y, z) 2 R3 : 2x = 0 ^ 3x� z = 0}
= {(x, y, z) 2 R3 : x = 0 ^ z = 0} = {(0, y, 0) 2 R3 : y 2 R} = h{(0, 1, 0)}i
Para todo elemento w = (↵,�) 2 R2 es posible hallar un elemento v = (x, y, z) 2 R3 tal que
f(v) = w, de lo que se deduce que im(f) = R2: basta hacer x = 1
2
↵, y = 0, z =
3
2
↵� �.
• Si f : R3 ! R4 es la aplicación definida por f(x, y, z) = (2x, 3x� z, 2y + z, x+ y + z) entonces
ker(f) = {~0} y im(f) = h{(2, 3, 0, 1), (0, 0, 2, 1), (0,�1, 1, 1)}i.
• Si f : R3[X] ! R3[X] es la aplicación lineal que a cada polinomio le asocia su derivada entonces
ker(f) = h{1}i y im(f) = R2[X].
• Si U y W son subespacios de V tales que V = U � W , y f es la aplicación lineal de V en U
que a cada vector v = u + w con u 2 U y w 2 W , le asocia el vector u entonces ker(f) = W y
im(f) = U .
• Si M es el espacio vectorial de las matrices cuadradas n ⇥ n con coeficientes reales, y f la
aplicación de M en R que a cada matriz le asocia su traza entonces im(f) = R. Si Aij denota
la matriz de M que tiene un 1 en el lugar ij, y 0 en todos los demós lugares entonces ker(f) =
h{Aij : i, j = 1, . . . , n; i 6= j} [ {A11 �Aii : i = 2, . . . , n}i. ¿Qué dimensión tiene ker(f)?
Definición 2.2.1
Sea f :V ! W una aplicación lineal. La dimensión de im(f) se denomina rango de la aplicación
lineal f .
¿Cuál es el rango de cada una de las aplicaciones lineales en los ejemplos anteriores?
La siguiente proposición afirma que para calcular la imagen y el rango de una aplicación lineal
f : V ! W es suficiente determinar las imágenes de los vectores de un sistema generador de V .
Proposición 2.2.2
Sea f : V ! W una aplicación lineal. Si {v1, v2, . . . , vr} es un sistema generador de V entonces el
conjunto S = {f(v1), f(v2), . . . , f(vr)} es un sistema generador de im(f).
La demostración de lo anterior se apoya en el hecho de que cualquier vector f(v) de im(f) se puede
expresar, por ser f lineal, como combinación lineal de los vectores de S
f(v) = f(↵1v1 + ↵2v2 + . . .+ ↵rvr) = ↵1f(v1) + ↵2f(v2) + . . .+ ↵rf(vr).
Utilizando los ejemplos anteriores se puede comprobar que se verifica que la suma de las dimensiones
de los espacio núcleo e imagen coincide con la dimensión del espacio inicial. Este hecho no es una
mera coincidencia, corresponde a un resultado que se conoce como Fórmula de las dimensiones y que
se recoge en el siguiente enunciado.