Apuntes algebra lineal y geometria vega (41)

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2.2. NÚCLEO E IMAGEN. FÓRMULA DE LAS DIMENSIONES 37
Ejercicio 2.2.1.4
Sea f : R3 ! R2 la aplicación lineal definida por
f(x, y, z) = (x+ y, x� z).
Sean Bc = {e1, e2, e3} y B0c = {e01, e02} las bases canónicas de R3 y R2 respectivamente.
1. Sea v 2 R3. ¿Es f(v) combinación lineal de f(e1), f(e2), f(e3)? ¿El conjunto {f(e1), f(e2), f(e3)}
es un sistema generador de im(f)?
2. Comprobar que {f(e1), f(e2)} es una base de im(f) y determinar una base de ker(f),
3. ¿Existe algún vector v 2 R3 tal que f(v) = (1, 5)?
4. Sea g : R2 ! R2 la aplicación lineal definida por g(x, y) = (x + y, x + y). Demostrar que
g � f : R3 ! R2 está definida por (g � f)(x, y, z) = (2x + y � z, 2x + y � z) y deducir que
dim(ker(g � f)) = 2. ¿Es cierto que im(g � f) ⇢ im(f)?
5. Hallar una base de ker(g � f) y comprobar que ker(g � f) ⇢ ker(f)
6. ¿Existe algún vector v 2 R3 tal que (g � f)(v) = (1, 5)?
Ejercicio 2.2.1.5
Realiza cada uno de los siguientes ejercicios.
1. Demuestra que R3 = U �W siendo
U =< {(1, 2, 1)} > y W =< {(1, 0,�1), (1,�1, 0)} >
2. Expresa el vector v = (2, 1, 0) 2 R3 como combinación lineal de (1, 2, 1), (1, 0,�1), y (1,�1, 0).
Determina vectores u 2 U y w 2 W tales que v = u+ w.
3. Expresa el vector v = (x, y, z) 2 R3 como combinación lineal de (1, 2, 1), (1, 0,�1), y (1,�1, 0).
Determina vectores u 2 U y w 2 W tales que v = u+ w.
4. Expresa en función de x, y, z la imagen de un vector v = (x, y, z) de R3 por la aplicación
pU,W : R3 ! R3 donde pU,W es la proyección sobre U en dirección W .
5. Demuestra que la aplicación
f : R4 ! R3 tal que f(x, y, z, t) = (2x+ 2y, x+ y, z)
es lineal.
6. Determina im(f) y ker(f) donde f es la aplicación del apartado anterior.
7. Completa: La aplicación
pU,W � f : .... �! ....
está definida por (pU,W � f)(..............) = (..............)
Ejercicio 2.2.1.6
Sean f1, f2, f3 y f4 los endomorfismos de R4 definidos por
• f1(x, y, z, t) = (z + t, 0, y,�y)