Apuntes algebra lineal y geometria vega (42)

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38 LECCIÓN 2. APLICACIONES LINEALES Y MATRICES
• f2(x, y, z, t) = (x� y + t, x� y + t, x� y + t, 0)
• f3(x, y, z, t) = (x+ y + 2t, 2x+ z + 3t, x+ y + 2t, 2x� z + t)
• f4(x, y, z, t) = (z + t, z + t, x+ y, x+ y)
1. Determina los subespacios núcleo e imagen para cada una de las aplicaciones anteriores.
2. Usa algunos de los śımbolos 2, ⇢, �, \, [, 6= y = para completar las expresiones siguientes, con
el objetivo de establecer la relación que existe entre el subespacio núcleo y el subespacio imagen
de cada uno de los endomorfismos anteriores.
ker(f1) · · · im(f1) · · · {~0} ker(f2) · · · im(f2)
ker(f3) · · · im(f3) ker(f4) · · · im(f4) · · · {~0}
3. Define un endomorfismo f5 de R4 tal que dim(ker(f5))=1, dim(im(f5))=3 y ker(f5) \ im(f) =
{~0}.
Ejercicio 2.2.1.7
Decir, razonadamente, si es verdadera o falsa cada una de las afirmaciones siguientes.
1. Si f es endomorfismo de V tal que ker(f) = im(f), entonces dim(V ) es número par.
2. Ninguna aplicación lineal de R2[X] en R4 tiene rango 4.
3. Si existe una aplicación lineal f de R4 en Rn[X] tal que ker(f) = {~0}, entonces n � 3.
Ejercicio 2.2.1.8
Sea f un endomorfismo del R-espacio vectorial R3 del que se sabe
• Im (f) ⇢ Ker(f)
• f(1,�1, 2) = (1, 1, 0)
• f(�1, 3, 0) = f(2, 0, 2)
1. Determinar bases de Im (f) y Ker(f) respectivamente.
2. Demostrar que B = {v1 = (1, 1, 0), v2 = (�3, 3,�2), v3 = (1,�1, 2)} es una base de R3. ¿Hay
alguna peculiaridad en los vectores que forman la base anterior?
3. Determinar las coordenadas de un vector v = (x, y, z) 2 R3 respecto de la base B. Completar
f(x, y, z) = (..., ..., ...).
2.3 Tipos de Aplicaciones Lineales. Isomorfismos.
Entre las aplicaciones lineales que se pueden establecer de un espacio vectorial en otro, desempeñan
un papel destacado áquellas que son inyectivas, por ser las que “transportan la forma” del espacio
inicial al espacio imagen. Si además el espacio imagen coincide con el espacio final, el espacio inicial
y el final son “idénticos desde el punto de vista estructural, como espacios vectoriales.
Definición 2.3.1
Sea f : V ! W una aplicación lineal.