Apuntes algebra lineal y geometria vega (43)

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2.3. TIPOS DE APLICACIONES LINEALES. ISOMORFISMOS. 39
1. Se dice que f es inyectiva si ker(f) = {0}.
2. Se dice que f es sobreyectiva si im(f) = W .
3. Se dice que f es un isomorfismo si es biyectiva, es decir, si es simultaneamente inyectiva y
sobreyectiva.
De acuerdo con la Fórmula de las Dimensiones y las pautas dadas para su demostración, se pueden
establecer las siguientes equivalencias.
f es inyectiva () dimV = dim im(f) = rango(f) ()
() f transforma una base de V en una base de im(f)
La serie anterior de equivalencias permite abordar el estudio de la inyectividad o no inyectividad de
una aplicación lineal por distintas v́ıas como se muestra en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 2.3.1
• Sea f : R3 ! R4 la aplicación lineal definida por f(x, y, z) = (x + y, y, y � z, x + z). Dicha
aplicación es inyectiva puesto que las imágenes de los vectores de la base canónica de R3 son
f(1, 0, 0) = (1, 0, 0, 1), f(0, 1, 0) = (1, 1, 1, 0), f(0, 0, 1) = (0, 0,�1, 1)
vectores linealmente independientes de R4.
• También se puede mostrar que la aplicación anterior es inyectiva resolviendo el sistema lineal
homogóneo
x+ y = 0, y = 0
y � z = 0, x+ z = 0
que es el que determina ker(f).
• Sea f : R2[X] ! R2[X] la aplicación lineal definida por f(p(X)) = p(0) + p(1)X + p(2)X2.
ker(f) = {p(X) 2 R2[X] : p(0) = 0, p(1) = 0, p(2) = 0}
Aśı pues, ker(f) está formado por aquellos polinomios de grado menor o igual a 2 que tienen por
ráıces a los números 0, 1 y 2. El único polinomio de R2[X] con tres ráıces es el polinomio nulo.
Por tanto ker(f) = {0} y f es inyectiva. La fórmula de las dimensiones nos permite deducir que
f es sobreyectiva, y por tanto un isomorfismo.
• Sea M el R–espacio vectorial de las matrices reales n⇥n con todos los elementos de la diagonal
principal nulos. Se considera la aplicación lineal f : M ! R2 con f(M) = (a, b) donde a es
la suma de los elementos de M que están por debajo de la diagonal principal y b la suma de
los elementos de M que están por encima de la diagonal principal. Esta aplicación lineal es
sobreyectiva, y es inyectiva si y sólo si n = 2.
En uno de los ejemplos anteriores se establece una aplicación inyectiva entre espacios vectoriales
de igual dimensión, y esto ha permitido concluir que dicha aplicación es también sobreyectiva. Este
hecho es general y se recoge en una de las afirmaciones de la siguiente proposición.