Apuntes algebra lineal y geometria vega (45)

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2.3. TIPOS DE APLICACIONES LINEALES. ISOMORFISMOS. 41
1. Decir las dimensiones de ambos espacios vectoriales. ¿Son dichos espacios isomorfos?
2. Sea f : R2[X] ! M2⇥2(R) la aplicación lineal que a cada polinomio p(X) = a + bX + cX2 le
asocia la matriz M = f(a+ bX + cX2) =
✓
a b
c 0
◆
. Demostrar que f es inyectiva.
3. Siendo f la aplicación del apartado anterior, ¿es posible encontrar dos polinomios p1(X) y p2(X)
tales que sus imágenes pertenezcan a un mismo subespacio generado por una matriz A?
4. ¿Seŕıa posible definir una aplicación g : R2[X] ! M2⇥2(R) que fuera sobreyectiva?
Ejercicio 2.3.1.2
Definir, si es posible, una aplicación lineal de R3 en R2[X] que sea isomorfismo.
Ejercicio 2.3.1.3
Sea f : V ! W una aplicación lineal.
1. Demostrar que si f es inyectiva, las imágenes de cualesquiera dos elementos distintos de V son
distintas.
2. Demostrar que si las imágenes de cualesquiera dos elementos distintos de V son distintas, en-
tonces f es inyectiva.
3. Sea el caso V = R4, W = R2[X] y f la aplicación que a cada vector v = (a, b, c, d) de V = R4 le
asigna el polinomio f(a, b, c, d) = (a+ b)X2 + (c+ d) de W = R2[X].
(a) Utilizando la fórmula de las dimensiones, probar que f no es inyectiva.
(b) Determinar ker(f).
(c) Dar un conjunto infinito C de vectores de V tal que si v 2 C, entonces f(v) = f(1, 2, 3, 4)
Ejercicio 2.3.1.4
Sean f : V ! W y g : W ! U dos aplicaciones lineales.
1. Demostrar que ker(f) ⇢ ker(g � f), y deducir que si g � f es inyectiva, entonces f es inyectiva.
2. Demostrar que im(g�f) ⇢ im(g), y deducir que si g�f es sobreyectiva, entonces g es sobreyectiva.
3. Sean � : V ! W y �i : W ! V con i = 1, 2 tres aplicaciones lineales tales que � � �1 = IW y
�2 �� = IV . Demostrar que las dmensiones de V y W son iguales y que las tres aplicaciones son
isomorfismos.
Ejercicio 2.3.1.5
Sean f : R4 ! R3 y g : R3 ! R4 aplicaciones lineales y se sabe que
• (g � f)(1, 1, 2, 2) = (g � f)(�1, 0, 1, 1)
• dim(ker(g � f))=1
Determinar una base de ker(f) y el rango de f .