Apuntes algebra lineal y geometria vega (46)

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42 LECCIÓN 2. APLICACIONES LINEALES Y MATRICES
2.4 Matriz asociada a una aplicación lineal
En esta sección, se estudian esencialmente las relaciones existentes entre las coordenadas de un vector
y las coordenadas de su imagen por una aplicación lineal, una vez que se han fijado sendas bases en
los espacios inicial y final de la aplicación considerada. Esto permitirá asociar, de forma natural, una
matriz a la aplicación lineal.
Antes de establecer las relaciones antes indicadas, se muestra bajo qué condiciones queda deter-
minada (de forma única) una aplicación lineal. Se ha visto anteriormente que si f : V ! W es una
aplicación lineal y {v1, v2, . . . , vr} es un sistema generador de V , en cuanto se conocen los vectores
f(vi) con i = 1, . . . , r, se puede conocer la imagen de cualquier vector de V . En la siguiente proposición
se muestra bajo qué condiciones el rećıproco también es cierto: en el caso de asociar elementos de
W a una base de V , queda determinada uńıvocamente una aplicación lineal f : V ! W que
verifica las condiciones impuestas.
Proposición 2.4.1
Sean V y W dos K–espacios vectoriales, B = {v1, v2, . . . , vn} una base de V y {w1, w2, . . . , wn} una fa-
milia cualquiera de vectores de W (donde eventualmente algunos vectores pueden coincidir). Entonces
existe una y sólo una aplicación lineal f : V ! W tal que
f(v1) = w1, f(v2) = w2, . . . , f(vn) = wn
Si se desea que la aplicación a construir sea lineal y f(vi) = wi para i = 1, 2, . . . , n, es obligado
que f(v) sea a1w1 + a2w2 + . . .+ anwn si v = a1v1 + a2v2 + . . .+ anvn (de ah́ı también la unicidad).
Es inmediato ver que la aplicación f aśı definida es lineal.
Ejemplo 2.4.1
¿Cuál es la imagen de un vector cualquiera de R3[X] por la aplicación lineal f : R3[X] ! R2 tal que
f(1) = (0, 0), f(X) = (1, 0), f(X2) = (2, 2) y f(X3) = (3, 6)?
Si g : R3[X] ! R2 es la aplicación lineal definida por g(p(X)) = (p0(1), p00(1)), ¿podemos afirmar que
f y g son iguales?
Sean V y W dos K–espacios vectoriales, BV = {v1, v2, . . . , vn} y BW = {w1, w2, . . . , wm} bases de
V y W respectivamente, y f : V ! W una aplicación lineal. Sean (x1, x2, . . . , xn) las coordenadas
de v 2 V respecto de la base BV , y (y1, y2, . . . , ym) las coordenadas de f(v) 2 W respecto de la base
BW . La relación existente entre (x1, x2, . . . , xn) y (y1, y2, . . . , ym) se obtiene mediante los siguientes
argumentos:
• Por un lado se tiene f(v) = y1w1 + y2w2 + . . .+ ymwm.
• Por otro lado f(v) = f(x1v1 + x2v2 + . . .+ xnvn) = x1f(v1) + x2f(v2) + . . .+ xnf(vn). Si f(vi),
para i = 1, . . . , n, se escribe en función de BW se tendrá
f(vi) = a1iw1 + a2iw2 + . . .+ amiwm =
mX
j=1
ajiwj
• Tras llevar ésto a la igualdad anterior, agrupar términos en los que aparece el mismo vector wj
y utilizar la unicidad de expresión de un vector en función de una base, se llega a las siguientes
ecuaciones:
y1 = a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn
y2 = a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn
...
...
ym = am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn