Apuntes algebra lineal y geometria vega (48)

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44 LECCIÓN 2. APLICACIONES LINEALES Y MATRICES
• Sea M el R-espacio vectorial de las matrices de la forma
✓
a 0
b c
◆
con a, b, c 2 R y f : R2[X] !
M la aplicación lineal definida por f(a+ bX + cX2) =
✓
a 0
b c
◆
. ¿Cuál es la matriz asociada a
esta aplicación cuando en ambos subespacios se considera la base canónica?
Todo este proceso nos permite, una vez fijadas bases de los espacios inicial y final, asociar a cada
aplicación lineal una matriz, que por otra parte, como muestra la siguiente proposición, la determina
puesto que el proceso es reversible.
Proposición 2.4.2
Dados K–espacios vectoriales V y W en los que se consideran bases BV = {v1, v2, . . . , vn} y BW =
{w1, w2, . . . , wm} respectivamente, y una matriz M = (aij) de tamaño m ⇥ n, existe una aplicación
lineal (y sólo una) f : V ! W tal que MBV ,BW (f) = M .
Para definir la aplicación lineal cuya existencia asegura la proposición anterior sólo hay que con-
siderar como aplicación f la definida por:
f(vi) = a1iw1 + a2iw2 + . . .+ amiwm =
mX
j=1
ajiwj
De este hecho resulta que habitualmente se identifique aplicación lineal y matriz, y que enunciados
como el siguiente sean habituales.
Sea A la aplicación lineal de R3 en R3[X] definida por
A =
0
BB@
0 0 0
1 0 0
2 1 0
3 2 1
1
CCA
¿Cuáles son las imágenes de los vectores (0, 1, 0) y (1, 2, 3) por esta aplicación?
Ese mismo enunciado se podŕıa haber expresado aśı:
Sea f : R3 ! R3[X] la aplicación lineal que respecto de las bases canónicas está definida
por la matriz
A =
0
BB@
0 0 0
1 0 0
2 1 0
3 2 1
1
CCA
¿Quién es f(0, 1, 0)? ¿Y f(1, 2, 3)?
El proceso realizado hasta aqúı nos permite identificar el conjunto de las aplicaciones lineales entre
dos espacios vectoriales con el espacio vectorial de las matrices (con las dimensiones apropiadas) como
muestra el siguiente teorema.
Teorema 2.4.1
Sean V y W K–espacios vectoriales y BV y BW bases de V y W respectivamente. Denotemos por L
el conjunto de las aplicaciones lineales de V en W , y por M el K–espacio vectorial de las matrices
m⇥ n con coeficientes en K, donde m = dimW y n = dimV . Se tiene entonces que: