Apuntes algebra lineal y geometria vega (49)

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2.4. MATRIZ ASOCIADA A UNA APLICACIÓN LINEAL 45
1. L tiene estructura de K–espacio vectorial con las operaciones siguientes
(f + g)(v) = f(v) + g(v) y (af)(v) = af(v)
donde f y g son elementos cualesquiera de L, y a 2 K
2. Si � : L ! M es la aplicación que asocia a cada aplicación lineal f la matriz MBV ,BW (f)
entonces � es un isomorfismo de K–espacios vectoriales.
Al comienzo de este caṕıtulo se ha definido rango de una aplicación lineal, y ahora se ha visto la
identificación de aplicación lineal y matriz, por tanto la pregunta siguiente es obvia: ¿qué relación
existe entre el rango de una aplicación lineal y el rango de cualquiera de sus matrices asociadas?
Si V y W son K-espacios vectoriales, BV = {v1, . . . , vn} y BW = {w1, . . . , wm} bases de V y W
respectivamente, y f : V ! W una aplicación lineal tal que A = MBV ,BW (f), se tiene que el vector
f(vi) está identificado, v́ıa el isomorfismo coordenado de W respecto BW , con la columna i-ésima de
la matriz A, por tanto
rango(f) = dim(im(f)) = rango{f(v1), f(v2), . . . , f(vn)} =
= rango{(a11, . . . , am1), (a12, . . . , am2), . . . , (a1n, . . . , amn)} =
= rango por columnas de A
Consideremos ahora el subespacio S de Kn generado por las filas de la matriz A. La dimensión de
dicho subespacio es el rango por filas de tal matriz, aunque en lo sucesivo no distinguiremos el rango
por filas del rango por columnas puesto que ambos coinciden como muestra la siguiente proposición.
Proposición 2.4.3
En la matriz A el rango por filas y el rango por columnas es el mismo, lo que permite definir rango
de una matriz como cualquiera de ellos.
Demostración.
La demostración de la afirmación anterior pasa por probar que r  r0 y r0  r, donde r es el rango
por filas de A y r0 su rango por columnas. Es suficiente ver que r0  r pues a la otra desigualdad se
llega de forma análoga (o bien considerando la matriz traspuesta de A).
No se pierde generalidad si se supone que son las r primeras filas de A las linealmente independi-
entes, y las restantes por tanto combinación lineal de ellas:
(ai1, ai2, . . . , ain) =
rX
k=1
↵ik(ak1, ak2, . . . , akn)
con i = r + 1, r + 2, . . . ,m. De esta última igualdad se deduce:
aij = ↵i1a1j + ↵i2a2j + . . .↵irarj =
rX
k=1
↵ikakj