Apuntes algebra lineal y geometria vega (50)

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46 LECCIÓN 2. APLICACIONES LINEALES Y MATRICES
con r + 1  i  m, 1  j  n. Para j = 1, 2, . . . , n, sea cj la columna j–ésima de A:
cj = (a1j , a2j , . . . , arj , ar+1j , . . . , amj) =
= (a1j , a2j , . . . , arj ,
rX
k=1
↵r+1kakj , . . . ,
rX
k=1
↵mkakj) =
= a1j(1, 0, . . . , 0,↵r+11, . . . ,↵m1)+
+a2j(0, 1, 0, . . . , 0,↵r+12, . . . ,↵m2)+
+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .+
+arj(0, . . . , 0, 1,↵r+1r, . . . ,↵mr)
de donde se deduce que cada vector columna de A depende linealmente de los r vectores que aparecen
en la combinación lineal anterior. Por tanto el número de vectores columna linealmente independientes
no puede ser mayor que el número de los vectores que los generan, es decir, r0  r.
La proposición que se acaba de probar permite realizar el cálculo del rango de una aplicación lineal
por las filas o por las columnas, indistintamente, de la matriz asociada.
2.4.1 Ejercicios
Ejercicio 2.4.1.1
Sea f : R3 ! R2 la aplicación lineal tal que
f(e1) = 3e
0
1 � e02, f(e2) = e01 � e02, f(e3) = 3e01 + 2e02
donde Bc = {e1, e2, e3} y B0c = {e01, e02} son las bases canónicas de R3 y R2 respectivamente.
1. Completar: f(x, y, z) = (· · · , · · ·).
2. Comprobar que el resultado obtenido en el apartado anterior coincide (escrito en columna) con
el obtenido al realizar la siguiente multipicación matricial.
✓
3 1 3
�1 �1 2
◆0
@
x
y
z
1
A .
3. ¿Es cierto que MBc,B0c(f) es la matrix 2⇥ 3 del apartado anterior?
Ejercicio 2.4.1.2
Sea f : R3 ! R4 la aplicación lineal tal que
f(e1) = e
0
1 � e02 + e03, f(e2) = �e01 � e02 + e03 + e04, f(e3) = 2e01 � e04
donde Bc = {e1, e2, e3} y B0c = {e01, e02, e03, e04} son las bases canónicas de R3 y R4 respectivamente.
1. Sea v = (x, y, z) un vector de R3, y sea f(v) = (x0, y0, z0, t0). Determina la matriz M tal que
(x0, y0, z0, t0)t = M(x, y, z)t (el supeŕındice t denota ”traspuesta de”).
2. Siendo M la matriz determinada en el apartado anterior, expresar la igualdad M(x, y, z)t =
(1, 2, 3, 4)t como un sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas. ¿Tiene solución el sistema
anterior? ¿Por qué?
3. A las preguntas del segundo apartado una persona responde “No, porque el vector (1, 2, 3, 4) /2
im(f)”. ¿Coincide con tu respuesta? ¿Es correcta su respuesta?