Apuntes algebra lineal y geometria vega (56)

Vista previa del material en texto

52 LECCIÓN 2. APLICACIONES LINEALES Y MATRICES
y sea f : R4 ! R3 la aplicación lineal que respecto de las bases canónicas tiene como matriz asociada
M . Como el rango de M es 2, existen bases en R4 y en R3 respecto de las cuáles la matriz asociada
a f es de la forma
M 0 =
0
@
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
1
A
Puesto que ker(f) = h{(1, 1,�1, 0), (1,�1, 0,�1)}i, podemos considerar
BV = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (1, 1,�1, 0), (1,�1, 0,�1)} como base de R4 y
BW = {(1, 1, 1), (1,�1, 1), (1, 0, 0)} como base de R3
(f(1, 0, 0, 0) = (1, 1, 1) y f(0, 1, 0, 0) = (1,�1, 1)). Aśı MBV ,BW (f) = M 0.
Proposición 2.5.2
Sean M y M 0 dos matrices. Entonces M y M 0 son equivalentes si y sólo si tienen el mismo tamaño
y el mismo rango.
De la definición de matrices equivalentes se deduce, de forma inmediata, que dos matrices que sean
equivalentes tienen igual tamaño e igual rango. Si M y M 0 tienen igual tamaño (m⇥n) e igual rango
(r), ambas son equivalentes a una matriz de la forma
C =
✓
Ir 01
02 03
◆
es decir, C = QMP = Q0M 0P 0 donde Q, P , Q0 y P 0 son matrices regulares. Esto permite escribir
M 0 = Q00MP 00 siendo Q00 = Q0�1Q y P 00 = PP 0�1 (ambas regulares).
Si porM denotamos el conjunto de matricesm⇥n con coeficientes en K, la relación de equivalencia
”ser matrices equivalentes” definida en M particiona el conjunto M en t + 1 clases de equivalencia
donde t = mı́nimo{m,n}. Cada clase de equivalencia está representada canónicamente por una matriz
del tipo C =
✓
Ir 01
02 03
◆
con r = 0, 1, 2, . . . , t.
Ejemplo 2.5.5
Las matrices
0
@
1 1
1 �1
1 0
1
A y
0
@
2 a
2 a
b b
1
A son equivalentes si y sólo si b 6= 0 y a 6= 2. ¿Cuál es el represen-
tante canónico de la clase de equivalencia a la que pertenecen?
2.5.3 Ejercicios
Ejercicio 2.5.3.1
Sea V = R4, Bc = {e1 = (1, 0, 0, 0), e2 = (0, 1, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0), e4 = (0, 0, 0, 1)} la base canónica
de V = R4 y B = {v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (1, 2, 1, 1), v3 = (0, 0, 0, 1), v4 = (1, 0, 0,�1)}
1. Demuestra que B es base de V .
2. Sea v = (1, 2, 3, 4) 2 R4. Determina las coordenadas de v respecto Bc y respecto B.
3. Sea v = (x, y, z, t) 2 R4. Determina las coordenadas de v respecto Bc y respecto B.