Apuntes algebra lineal y geometria vega (61)

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2.6. PROBLEMAS DE APLICACIONES LINEALES 57
b) Halla bases de ker(f) y de Im(f), en función de a y b.
c) Determina el subespacio f(U), según a y b, siendo U = {(x, y, z) 2 R3 : x+ z = y + z = 0}.
Problema 2.6.5
Dı́, razonadamente, si las siguientes afirmaciones son verdaderas ó no.
a) Sea f :Rn ! Rn una aplicación lineal. Si f no es inyectiva, Im(f) no es Rn.
b) Existe alguna aplicación lineal f de R3 en R2 que no siendo inyectiva tiene como imagen todo
R2.
c) Existe una aplicación lineal f de R2 en R3 que tiene como imagen todo R3.
d) Si f :R2 ! R3 es aplicación lineal, entonces ker(f) = {0} o dim(Im(f)) = 1.
e) Si f es una aplicación lineal de Rn en R, dim(Ker(f)) = n� 1 o f es la aplicación nula.
f) Si f es un endomorfismo de V tal que Ker(f) = Im(f), dim(V ) es un número par.
Problema 2.6.6
Sea V un K-espacio vectorial no nulo de dimensión n y f un endomorfismo de V verificando:
f2 = 0 y dim(Im(f)) � dim(ker(f))
¿Cúales de las siguientes afirmaciones son ciertas?:
a) dim(Im(f)) > dim(ker(f))
b) dim(Im(f)) = n
c) Im(f) \ ker(f) = {0}
d) n es un no¯ par
Problema 2.6.7
Sea V un espacio vectorial de dimensión 3, {v, w, u} una base de V y f un endomorfismo de V tal que
f(v) = v + w, f(u) = u, ker(f) =< {v + w} > .
Se pide calcular Im(f), ker(f2) y ker(f3).
Problema 2.6.8
Construye, si es posible, una aplicación lineal con las condiciones pedidas en cada uno de los casos
siguientes: