Apuntes algebra lineal y geometria vega (77)

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3.1. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES 73
Proposición 3.1.4 Sea f :V ! V un endomorfismo y ↵1, . . . ,↵s los distintos autovalores de f (esto
es, las distintas ráıces en K de Pf (X)). Se tiene entonces que f es diagonalizable si y sólo si se verifica
dim(V ) =
sX
i=1
dim(Vf (↵i))
Puesto que existen endomorfismos que no se pueden diagonalizar, incluso aunque se aumente el
cuerpo de escalares, el siguiente teorema muestra cuando un endomorfismo se puede triangularizar,
ésto es, cuando existe una base tal que la matriz del endomorfismo considerado respecto dicha base es
triangular superior.
Teorema 3.1.1 Sea f :V ! V un endomorfismo verificando que Pf (X) posee todas sus ráıces en K.
Entonces existe una base B de V tal que
MB(f) =
0
BBBBB@
↵1 ? . . . . . . ?
0 ↵2 . . . . . . ?
...
. . .
. . .
...
...
. . .
. . .
...
0 . . . . . . 0 ↵n
1
CCCCCA
donde los ↵i son los autovalores de f (que no tienen por qué ser todos distintos).
Una forma de demostrar el teorema anterior es aplicando inducción sobre la dimensión del espacio,
o lo que es equivalente, sobre el orden de la matriz, como muestra el siguiente ejemplo.
Ejemplo 3.1.4
Consideremos el endomorfismo f de R4 que respecto de la base canónica tiene como matriz asociada
la siguiente
A =
0
BB@
0 0 �1 2
2 �1 5 �2
3 0 5 �3
4 0 5 �2
1
CCA
La matriz A es triangulable puesto que su polinomio caracteŕıstico tiene todas sus ráıces en R:
PA(X) = (X + 1)
2(X � 2)2.
Si lo que se trata es de buscar una base B de R4 respecto de la cuál la matriz asociada a f es
triangular, el primero de los vectores de B ha de ser un vector propio de f . Como
Vf (�1) = h{e2 = (0, 1, 0, 0)}i
es el subespacio propio, respecto de f , asociado al valor propio �1, consideramos un subespacio U de
R4 tal que R4 = Vf (�1)� U . Sea
U = h{e1 = (1, 0, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0), e4 = (0, 0, 0, 1)}i
y B0 = {e2, e1, e3, e4}. La matriz asociada a f respecto de B0 es
A0 =
0
BB@
�1 2 5 �2
0 0 �1 2
0 3 5 �3
0 4 5 �2
1
CCA