Apuntes algebra lineal y geometria vega (79)

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3.1. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES 75
En las lineas siguientes vamos a realizar una serie de puntualizaciones que nos serán de utilidad, no
sólo para introducir algunas aplicaciones del resultado anterior sobre triangularización, sino también,
para abordar distintos aspectos contenidos en la sección inmediatamente posterior.
Sea f un endomorfismo del K-espacio vectorial n-dimensional V , y sea
p(X) = arX
r + ar�1X
r�1 + . . .+ a1X + a0
un polinomio cualquiera con coeficientes en K. Por p(f) se denota el endomorfismo de V siguiente:
p(f) = arf
r + ar�1f
r�1 + . . .+ a1f + a0IV
donde
fk =
k vecesz }| {
f � f � . . . � f .
Análogamente, si A es una matriz n⇥ n con coeficientes en K, p(A) es la matriz
p(A) = arA
r + ar�1A
r�1 + . . .+ a1A+ a0In.
Distintos resultados vistos en el caṕıtulo precedente nos permiten afirmar que si B es una base de
V y M = MB(f) entonces
MB(p(f)) = arM
r + ar�1M
r�1 + . . .+ a1M + a0In = p(M).
También es inmediato comprobar que si q(X) es otro polinomio con coeficientes en K entonces:
(p+ q)(f) = p(f) + q(f) (p · q)(f) = (q · p)(f)
(p+ q)(A) = p(A) + q(A) (p · q)(A) = (q · p)(A) = p(A) · q(A) = q(A) · p(A)
Una vez establecida la notación y algunos resultados elementales relativos a expresiones polinómicas
de matrices vamos a ver algunos resultados sencillos, a modo de ejemplo, en los que la triangulación
de una matriz juega un papel importante.
Ejemplo 3.1.5
• Si A es una matriz cuadrada n ⇥ n cuyos valores propios son ↵1, · · · ,↵n (no necesariamente
distintos), entonces traza(A) = ↵1 + · · ·+ ↵n y det(A) = ↵1· · · · ·↵n.
• Si p(X) es un polinomio cualquiera y A es una matriz n⇥ n, entonces los valores propios de la
matriz B = p(A) son exactamente los números p(↵1), · · · , p(↵n) donde ↵1, · · · ,↵n son los valores
propios de A.
Para probar ambos resultados basta considerar una matriz triangular T semejante a
A y aplicar las propiedades relativas a polinomios caracteŕısticos de matrices semejantes.
En el caso de B, debemos observar además que si A = P�1TP entonces B = p(A) =
p(P�1TP ) = P�1p(T )P donde p(T ) es una matriz triangular en cuya diagonal principal
aparecen p(↵1), · · · , p(↵n).
Aplicaciones interesantes de la última de las consecuencias son las siguientes.