Apuntes algebra lineal y geometria vega (81)

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3.1. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES 77
En la sección que ahora concluimos se ha establecido una caracterización de los endomorfismos
que son diagonalizables, en la que interviene el concepto de polinomio caracteŕıstico pero no ex-
clusivamente. También se ha podido observar que existen endomorfismos con el mismo polinomio
caracteŕıstico pero de diferente comportamiento, lo que significa que el polinomio caracteŕıstico de un
endomorfismo, a pesar de su nombre, no lo caracteriza plenamente.
En lo sucesivo iremos introduciendo nuevos conceptos que nos permitan, por un lado, un manejo
más cómodo de un endomorfismo cuando no sea diagonalizable, y por otro, dar una caracterización
del mismo.
3.1.1 Ejercicios
Ejercicio 3.1.1.1
Sea f el endomorfismo de R3 definido por f(e1) = e1, f(e2) = 2e2, f(e3) = 3e3.
1. Comprueba que f(x, y, z) = (x, 2y, 3z).
2. ¿Son e1, e2, e3 vectores propios asociados a f? En caso afirmativo, señalar respecto de qué valores
propios.
3. ¿Es diagonal la matriz asociada a f respecto de la base canónica?
Ejercicio 3.1.1.2
Sea d el endomorfismo de R2[X] que a cada polinomio le asocia su polinomio derivado. Se desea deter-
minar, si existen, los vectores propios relativos a d, y los valores propios correspondientes. Justificar
la siguiente linea de actuación.
1. Se buscan los polinomios no nulos p(X) = aX2 + bX + c tales que
2aX + b = ↵(aX2 + bX + c) (3.4)
2. Si ↵ 6= 0, entonces la igualdad (3.4) conduce a que p(X) debe ser el polinomio nulo.
3. Teniendo en cuenta (3.4), si ↵ = 0, entonces a = b = 0, y p(X) = c con c 6= 0.
4. El 0 es por tanto el único valor propio de d, y tiene asociados como vectores propios los polinomios
constantes.
¿Existe una base de R2[X] respecto de la cuál la matriz asociada a f sea diagonal?
Ejercicio 3.1.1.3
Sea f el endomorfismo de R2 definido, respecto de la base canónica por la matriz siguiente:
A =
✓
3 �1
1 1
◆
1. Determinar el polinomio caracteŕıstico de f .
2. Hallar Vf (2).
3. ¿Es f diagonalizable?