Apuntes algebra lineal y geometria vega (84)

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80 LECCIÓN 3. LA TEORÍA DEL ENDOMORFISMO
3. El resto de las raices del polinomio q(X) anterior son todas complejas y distintas, y dos a dos
son conjugadas entre si. ¿Por qué es cierto esto último?
4. Si h es el endomorfismo del C-espacio vectorial C7 que respecto de la base canónica tiene asociada
la matriz A, ¿es h diagonalizable?
5. Si f es el endomorfismo del R-espacio vectorial R7 que respecto de la base canónica tiene asociada
la matriz A, ¿es f diagonalizable?
6. Reescribir el polinomio caracteŕıstico de A en la forma pA(X) =
1
6X(7X
6�r(X)) siendo r(X) =
X6 +X5 +X4 +X3 +X2 +X + 1, y comprobar que si ↵ es raiz de pA(X), entonces ↵ no es
raiz de r(X).
7. En las notas teóricas se ha probado que si ↵1, · · · ,↵n son los valores propios de una matriz M de
tamaño n⇥ n, entonces p(↵1), · · · , p(↵n) son los valores propios de la matriz p(M) (donde p(X)
es un polinomio cualquiera). Teniendo en cuenta este resultado y el apartado anterior, deducir
que el número 0 no es valor propio de la matriz B = A6 +A5 +A4 +A3 +A2 +A+ I.
8. Sea g el endomorfismo de R7 definido, respecto de la base canónica por la matriz B del apartado
anterior. ¿Es g un isomorfismo?
9. Sean V
f1����!W f2����!U aplicaciones lineales entre K-espacios vectoriales. Demostrar que si f2
es isomorfismo entonces ker(f2 � f1) = ker(f1).
10. Conservando la notación empleada en apartados anteriores, se considera el endomorfismo g �
(f � IR7) de R7. ¿Quién es la matriz asociada a tal endomorfismo respecto de la base canónica?
11. Teniendo en cuenta los dos apartados anteriores, deducir que ker(f7 � IR7) = ker(f � IR7).
Calcular dicho núcleo.
3.2 El polinomio mı́nimo de un endomorfismo
Uno de los conceptos a los que nos refeŕıamos más arriba es el de polinomio mı́nimo de un endomor-
fismo.
Definición 3.2.1
Sea A una matriz n ⇥ n con coeficientes en K. Se llama polinomio mı́nimo de A a un polinomio
m(X) 2 K[X] verificando las siguientes condiciones:
1. m(X) es mónico.
2. m(A) es la matriz nula.
3. m(X) es el polinomio de menor grado verificando las dos condiciones anteriores.
Antes de seguir debemos garantizar que la definición que hemos establecido anteriormente tiene sen-
tido. Para ello vamos a demostrar el resultado que se conoce como Teorema de Cayley-Hamilton, y
que nos asegura la existencia de un polinomio verificando las dos primeras condiciones exigidas en
dicha definición. Una vez probado tal teorema, sabemos que el conjunto
N = {r 2 N : existe q(X) 2 K[X] mónico, grado(q(X)) = r y q(A) = 0}
es no vacio y que por tanto posee mı́nimo. Si ese mı́nimo es rm, un polinomio que tenga dicho grado (y
verifique lo pedido en la definición de N) será un polinomio mı́nimo de A. Más tarde se garantizaráó
la unicidad del mismo.