Apuntes algebra lineal y geometria vega (88)

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84 LECCIÓN 3. LA TEORÍA DEL ENDOMORFISMO
A todas ellas las multiplicamos por A obteniendo:
AB0 = A
AB1 = A2 + cr�1A
AB2 = A3 + cr�1A2 + cr�2A
...
ABr�2 = Ar�1 + cr�1Ar�2 + . . .+ c3A2 + c2A
ABr�1 = Ar + cr�1Ar�1 + . . .+ c3A3 + c2A2 + c1A
(3.9)
Teniendo en cuenta 3.8 y 3.9, podemos establecer las siguientes relaciones:
B0 = In
B1 = AB0 + cr�1In
B2 = AB1 + cr�2In
...
Br�2 = ABr�3 + c2In
Br�1 = ABr�2 + c1In
(3.10)
Además de la última igualdad en 3.9 tenemos:
ABr�1 + c0In = Ar + cr�1Ar�1 + . . .+ c3A3 + c2A2 + c1A+ c0In = mA(A) = [0] (3.11)
y por tanto:
ABr�1 = �c0In.
Consideremos el (resp. la) siguiente polinomio (resp. matriz) con coeficientes en Mn(K) (resp.
K[X]):
B(X) = B0X
r�1 +B1X
r�2 + . . .+Br�2X +Br�1
que, a continuación, multiplicamos por (XIn �A):
(XIn �A)B(X) = B(X)X �AB(X) =
= (B0Xr + . . .+Br�1X)� (AB0Xr�1 + . . .+ABr�2X +ABr�1) =
= B0Xr + (B1 �AB0)Xr�1 + . . .+ (Br�1 �ABr�2)X �ABr�1 =
= InXr + cr�1InXr�1 + . . .+ c2InX2 + c1InX + c0In =
= (Xr + cr�1Xr�1 + . . .+ c1X + c0)In =
= mA(X)In
Tomando determinantes en la igualdad anterior se obtiene:
det(XIn �A) · det(B(X)) = det(mA(X)In) = (mA(X))n
Como det(B(X)) es un polinomio de K[X] y det(XIn � A) = PA(X), queda probado que PA(X) es
un divisor de (mA(X))n.
3.2.1 Ejercicios
Ejercicio 3.2.1.1
Se consideran las matrices
A =
✓
1 1
2 2
◆
B =
0
@
1 0 0
1 �1 �1
1 0 0
1
A C =
✓
3 �1
1 1
◆