Apuntes algebra lineal y geometria vega (91)

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3.3. SUBESPACIOS INVARIANTES 87
El polinomio caracteŕıstico de f es Pf (X) = (X � 2)3(X + 3)3 y su polinomio mı́nimo es mf (X) =
(X � 2)3(X + 3)2.
Si consideramos los subespacios V1 = ker(f � 2IR6)3 y V2 = ker(f + 3IR6)2, se tiene que
V1 = h{v1 = (0, 1, 1, 0, 1, 0), v2 = (1,�1, 1, 1, 0, 0), v3 = (0, 0,�1, 0, 0, 1)}i
V2 = h{w1 = (1, 0, 0,�1, 0, 0), w2 = (0, 0, 0, 0, 0, 1), w3 = (0, 1, 1, 1, 1, 0)}i
de lo que se pueden deducir los siguientes resultados:
1. La familia de vectores B = {v1, v2, v3, w1, w2, w3} es libre, y por tanto es una base de R6, lo que
permite asegurar que R6 = V1 + V2.
2. Puesto que V1 \ V2 = {0}, R6 = V1 � V2.
3. Si calculamos las imágenes por f de los vectores de B, obtenemos:
f(v1) = v1 � v2 f(v2) = 2v2 � v3 f(v3) = v1 + v2 + 3v3
f(w1) = �3w1 f(w2) = �3w2 f(w3) = w1 � 3w3.
Esto muestra que los subespacios V1 y V2 son f -invariantes, y que la matriz MB(f) es de la forma
✓
M1 0
0 M2
◆
con M1 =
0
@
1 0 1
�1 2 1
0 �1 3
1
A , M2 =
0
@
�3 0 1
0 �3 0
0 0 �3
1
A
En la proposición siguiente se muestra cómo describir un espacio vectorial V como suma directa
de subespacios f -invariantes de acuerdo con la factorización de su polinomio mı́nimo, siendo f un
endomorfismo de V .
Proposición 3.3.1 Sea V un K-espacio vectorial n-dimensional y f : V ! V un endomorfismo de
polinomio caracteŕıstico
Pf (X) = (X � ↵1)r1 · (X � ↵2)r2 · . . . · (X � ↵l)rl
y de polinomio mı́nimo
mf (X) = (X � ↵1)s1 · (X � ↵2)s2 · . . . · (X � ↵l)sl
siendo 1  si  ri y ↵i 6= ↵j si i 6= j. Si denotamos V1 = ker((f � ↵1I)s1) y V2 = ker(b(f)) siendo
b(X) = (X � ↵2)s2 · . . . · (X � ↵l)sl ,
entocnes se tiene:
1. V es suma de los subespacios V1 y V2.
2. V1 \ V2 = {0}, y por tanto V = V1 � V2.
3. V1 y V2 son f -invariantes.
4. Si fi, con i = 1, 2, denota la restricción de f a Vi, entonces mf1(X) = (X � ↵1)s1 y mf2(X) =
b(X).
5. La dimensión de V1 es r1.