Apuntes algebra lineal y geometria vega (114)

Vista previa del material en texto

110 LECCIÓN 3. LA TEORÍA DEL ENDOMORFISMO
3. ¿Qué condición de las dadas en el enunciado te permitiŕıa decir, sin realizar ningún otro cálculo,
si f es o no diagonalizable ? ¿Por qué?
Problema 3.6.39
Define de R3 en R3 tres endomorfismos: f1, f2 y f3, tales que el polinomio caracteŕıstico de todos ellos
sea (x� 2)3, y cuyas formas de Jordan sean todas distintas.
Si p(X) es el polinomio mónico de menor grado tal que p(f1), p(f2) y p(f3) son la aplicación nula en
R3, ¿quién es p(X)?
Problema 3.6.40
En R4 se considera un endomorfismo f del que se sabe:
• f(e1) = e1 + e2
• ker(f) = h{e1 + e2, e3 + e4}i
• h{e3, e4}i es f -invariante
• X � 1 es un factor del polinomio caracteŕıstico
• f(e1 + e3) está en el subespacio h{e1, e2, e3}i
Se pide:
1. Determinar la matriz asociada a f respecto de la base canónica.
2. ¿Es f diagonalizable? ¿Cuál es su polinomio mı́nimo?
3. Determinar su forma canónica de Jordan.
Problema 3.6.41
Se considera la matriz n⇥ n siguiente:
M =
0
BBBBBBBBBBB@
0 1 0 0 . . . . . . . . . 0 0
0 0 1 0 . . . . . . . . . 0 0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
0 0 0 0 . . . . . . . . . 0 1
�a0 �a1 �a2 �a3 . . . . . . . . . �an�2 �an�1
1
CCCCCCCCCCCA
1. Prueba que el polinomio caracteŕıstico de M es Xn + an�1Xn�1 + . . .+ a1X + a0.
2. Demuestra que si ↵ es una raiz del polinomio caracteŕıstico deM , entonces el vector (1,↵,↵2, . . . ,↵n�1)
es un vector propio asociado al valor propio ↵.