Apuntes algebra lineal y geometria vega (116)

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112 LECCIÓN 3. LA TEORÍA DEL ENDOMORFISMO
Problema 3.6.46
Sea f : R5 ! R5 un endomorfismo tal que la matriz asociada a f respecto de la base canónica es
M =
0
BBBB@
0 0 0 0 0
1 �1 1 0 0
1 �1 1 0 0
0 0 0 1 �1
0 0 0 1 �1
1
CCCCA
1. Determina Ker(f).
2. En una base de Ker(f) intercala vectores de la base canónica de R5 para obtener una base B de
R5 tal que la matriz asociada a f respecto B tenga forma de Jordan. Da esa matriz de Jordan.
3. Describe y utiliza otro método diferente al anterior para obtener una base respecto de la cuál la
matriz asociada a f tenga forma de Jordan. Da la matriz de Jordan respecto de esa base.
Problema 3.6.47
Sean U1 y U2 los subespacios de R5 siguientes:
U1 =< {e1, e2, e3} > U2 =< {e4, e5} >
Sea f1 un endomorfismo de U1 y f2 un endomorfismo de U2, tales que las formas de Jordan respectivas
son
J1 =
0
@
0 0 0
0 0 1
0 0 0
1
A J2 =
✓
0 1
0 0
◆
Determina la forma de Jordan, el polinomio mı́nimo y el polinomio caracteŕıstico de la aplicación
h : R5 ! R5 para la que U1 y U2 son subespacios h-invariantes y tal que la restricción de h a U1 es
f1 + IU1 y h a U2 es f2 � 2IU2 .
Problema 3.6.48
Sea f : R8 ! R8 un endomorfismo y Bc = {e1, · · · , e8} la base canónica de R8. Se sabe que U =<
{e1, e3, e5} >, W =< {e2, e4, e6} > y T =< {e7, e8} > son subespacios f -invariantes. Sean fU , fW y
fT las restricciones de f a U , W y T respectivamente.
1. Sabiendo que
MBU (fU ) =
0
@
1 �1 0
1 �1 0
0 1 0
1
A
siendo BU = {e1, e3, e5} >, determina una base de U respecto de la cuál la matriz asociada a fU
sea de Jordan. Da dicha matriz.
2. Teniendo en cuenta el apartado anterior y sabiendo que el polinomio mı́nimo de fW es (X�1)2 y
el polinomio mı́nimo de fT es X, determina la forma de Jordan de f , su polinomio caracteŕıstico
y su polinomio mı́nimo.