Apuntes algebra lineal y geometria vega (121)

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4.1. PRODUCTO ESCALAR Y ORTOGONALIDAD 117
1. Si {v1, v2, · · · , vr} es una familia de vectores no nulos de V y ortogonales dos a dos, entonces
v1, v2, · · · , vr son linealmente independientes.
2. Si U es un subespacio de V , U? es subespacio de V (subespacio ortogonal a U).
Demostración
Si partimos de una combinación lineal nula de dicha familia: ↵1v1 + · · ·+ ↵rvr = 0, al multiplicar
escalarmente esa combinación lineal por cada vi, obtenemos que ↵i = 0.
Para probar la segunda afirmación: Si v, w son vectores de U?, (↵v+�w)·u = ↵(v ·u)+�(w ·u) = 0
donde u es cualquier vector de U . De donde se deduce que ↵v + �w 2 U?.
El procedimiento de ortonormalización de Gram-Schmidt, que a continuación se presenta, permite
determinar una base constituida por vectores ortogonales dos a dos partiendo de cualquier base de V .
Una vez obtenida esa base, sin más que dividir a cada vector por su norma, contaremos con una base
formada por vectores ortogonales dos a dos y todos ellos de norma 1. Este procedimiento garantiza
que la siguiente definición no carece de sentido.
Definición 4.1.4
Sea V un espacio vectorial euclideo, y B una base de V . Se dice que B es ortogonal si está formada
por vectores ortogonales dos a dos. Si además todos los vectores de una base ortogonal son de norma
1, la base recibe el nombre de ortonormal.
Ejemplo 4.1.2
La base canónica de R3 es ortonormal, y no lo es la base canónica de R3[x]
En el ejemplo que aparece seguidamente se detalla el procedimiento de Gram-Schmidt para un
caso concreto. En la proposición que sigue a tal ejemplo se muestra ese mismo procedimiento en el
caso general.
Ejemplo 4.1.3
Consideremos el espacio vectorial real V = R2[x] con el producto escalar< p(x), q(x) >=
R 1
0 p(x)q(x)dx.
Sea B = {v1 = 1, v2 = x, v3 = x2} la base canónica de V , que no es ortonormal para dicho producto.
Se quiere construir una base ortonormal B⇤ = {u1, u2, u3} tal que
h{u1}i = h{v1}i, h{u1, u2}i = h{v1, v2}i, h{u1, u2, u3}i = h{v1, v2, v3}i (4.1)
En un principio vamos a tratar de construir una base ortogonal B0 = {w1, w2, w3} verificando la
propiedad 4.1. El que los vectores tengan norma 1 tiene fácil arreglo posterior. Si w1 = v1, se verifica
la primera condición de 4.1.
Siendo w1 = v1,
h{w1, w2}i = h{v1, v2}i , w2 = ↵w1 + �v2 con � 6= 0
Se puede tomar � = 1. Si w2 = ↵w1 + v2 e imponemos que w1 y w2 sean ortogonales, se deduce que
↵ = �w1 · v2kw1k2
. Sea entonces w2 = v2 + ↵w1 con ↵ = �
w1 · v2
kw1k2
= �< 1, x >kw1k2
.
Teniendo en cuenta la forma de estar definidos w1 y w2,
h{w1, w2, w3}i = h{v1, v2, v3}i , w3 = ↵w1 + �w2 + �v3 con � 6= 0.
Podemos hacer � = 1.