Apuntes algebra lineal y geometria vega (122)

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118 LECCIÓN 4. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
Si w3 = ↵w1 + �w2 + v3, imponiendo ortogonalidad entre w1 y w3, y w2 y w3, se deduce que
↵ = �w1 · v3kw1k2
y � = �w2 · v3kw2k2
Por tanto:
w1 = 1 y kw1k2 = 1
w2 = x�
< 1, x >
kw1k2
1 = x� 1
2
, kw2k2 =
1
12
w3 = x
2 � < 1, x
2 >
kw1k2
· 1�
< x� 1
2
, x2 >
kw2k2
· (x� 1
2
) = x2 +
1
6
� x, kw3k2 =
1
180
Si hacemos ui =
wi
kwik
, B⇤ = {u1, u2, u3} es una base ortonormal de V que verifica la condición 4.1
(por verificarla B0 = {w1, w2, w3}).
u1 = 1, u2 = 2
p
3(�1
2
+ x), u3 = 6
p
5(
1
6
� x+ x2)
El ejemplo anterior explica en gran medida la forma de actuar en el caso general.
Proposición 4.1.3 Procedimiento de ortonormalización de Gram-Schmidt
Si B = {v1, · · · , vn} es una base del espacio vectorial eucĺıdeo V , se puede construir una base ortonor-
mal B⇤ = {u1, · · · , un} tal que h{v1, · · · , vi}i = h{u1, · · · , ui}i, i = 1, · · · , n
Demostración
Basta probar la existencia de una base ortogonal B0 = {w1, · · · , wn} verificando la condición
h{v1, · · · , vi}i = h{w1, · · · , wi}i, i = 1, · · · , n. Para conseguir la base del enunciado basta hacer
ui =
wi
kwik
.
Si n = 1, el resultado es inmediato.
Supongamos que n � 2. Sea w1 = v1 y wi = vi + ↵1w1 + · · · + ↵i�1wi�1 para i = 2, · · · , n siendo
↵k = �
vi · wk
kwkk2
.
Probemos por recurrencia que los vectores w0is satisfacen las condiciones pedidas.
Es fácil comprobar que w1 · w2 = 0 y h{v1, v2}i = h{w1, w2}i. Supuesto que las propiedades son
ciertas para w1, · · · , wi�1, vamos a verlo para w1, · · · , wi�1, wi.
Multiplicamos escalarmente wi por wk para k = 1, · · · , i� 1.
wi · wk = vi · wk + (↵1w1 + · · ·+ ↵i�1wi�1) · wk = vi · wk + ↵kwk · wk = vi · wk �
vi · wk
kwkk2
kwkk2 = 0
De h{v1, · · · , vi�1}i = h{w1, · · · , wi�1}i, wi 2 h{v1, · · · , vi}i y vi 2 h{w1, · · · , wi}i, se deduce que
h{v1, · · · , vi}i = h{w1, · · · , wi}i.
Proposición 4.1.4
Sea V un espacio vectorial eucĺıdeo.
1. Si U es un subespacio de V , y U? es su ortogonal, entonces V = U �U?. Además (U?)? = U .
2. Si B = {u1, · · · , un} es una base ortonormal de V , las coordenadas (↵1, · · · ,↵n) de un vector
v 2 V respecto de B vienen dadas por ↵i = v · ui, 8i.