Apuntes algebra lineal y geometria vega (124)

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120 LECCIÓN 4. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
1. ¿Es <,> un producto escalar sobre R3?
2. En caso de haber respondido afirmativamente a la pregunta anterior, obtén el subespacio U?
cuando U = {(x, y, z) 2 R3 tal que x+ y + z = 0}
Ejercicio 4.1.1.3
Se considera el siguiente producto escalar sobre V = R3
<,>: R3 ⇥ R3 ! R
que a cada par de vectores (v, w) con v = (x1, x2, x3) y w = (y1, y2, y3) le asocia el número
< v,w >= (x1 x2 x3 )
0
@
2 0 0
0 2 1
0 1 2
1
A
0
@
y1
y2
y3
1
A
1. Sea Bc = {e1, e2, e3} la base canónica de R3. Comprueba que < ei, ej > es el término del lugar
(i, j) de la matriz 0
@
2 0 0
0 2 1
0 1 2
1
A
2. ¿Es Bc una base ortogonal con el producto escalar considerado?
3. ¿Quién es el subespacio ortogonal a U =< {e2, e3} >?
4. ¿Quién es el subespacio ortogonal a W =< {e1, e2} >?
5. Usando el procedimiento de Gram-Schmidt obtén, a partir de la base Bc, una base ortonormal
(con el producto escalar considerado).
Ejercicio 4.1.1.4
Se considera el espacio vectorial eucĺıdeo V = R3 con el producto escalar estándar. Sea U = {(x, y, z) 2
R3 tal que x+ 2y + 3z = 0}
1. Determina U?.
2. Escribe el vector v = (1,�2, 3) 2 R3 como suma de un vector u 2 U y de un vector u0 2 U?.
El vector u recibe el nombre de proyección ortogonal de v sobre U y se escribe u = pU (v).
El vector u0 recibe el nombre de proyección ortogonal de v sobre U? y se escribe u0 = pU?(v).
3. Escribe cualquier vector de V = R3 como suma de un vector u 2 U y de un vector u0 2 U?
(u = pU (v) y u0 = pU?(v)).
Ejercicio 4.1.1.5
Se considera el espacio vectorial eucĺıdeo V = R4 con el producto escalar estándar. Sea U =
{(x, y, z, t) 2 R4 tal que x+ 2y + 3z = 0, t = 0}
1. Determina una base ortonormal de U .
2. Sea B⇤ = {u1, u2, u3, u4} una base ortonormal de V tal que {u1, u2} sea la base de U hallada en
el apartado anterior.
· ¿Es {u3, u4} una base de U??
· Si un vector v tiene coordenadas (↵1,↵2,↵3,↵4) respecto B⇤, ¿es cierto que ↵i coincide con el
producto escalar de ui y v?