Apuntes algebra lineal y geometria vega (128)

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124 LECCIÓN 4. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
• En este ejemplo se trabaja el mismo caso que en ejemplos anteriores pero desde esta nueva
perspectiva.
Se considera el espacio vectorial eucĺıdeo R3 con el producto escalar estandar. Sea U =
{(x, y, z) 2 R3/x � y + 2z = 0}, y v = (1, 2, 3). Vamos a determinar la proyección ortogo-
nal de v sobre el plano vectorial U .
Una base de U es BU = {(1, 1, 0), (2, 0,�1)}, por tanto, siguiendo la notación anterior, la matriz
A es:
A =
0
@
1 2
1 0
0 �1
1
A
Si (�1,�2) son las coordenadas de pU (v) en BU , aplicando la fórmula matricial obtenida anteri-
ormente:
✓
�1
�2
◆
= (AtA)�1At
0
@
1
2
3
1
A = 1
6
✓
5 �2
�2 2
◆✓
1 1 0
2 0 �1
◆0
@
1
2
3
1
A =
✓
17
6�4
3
◆
De donde pU (v) =
17
6 (1, 1, 0) + (�
4
3)(2, 0,�1) = (
1
6 ,
17
6 ,
4
3) = (↵1,↵2,↵3), coordenadas de pU (v)
en la base canónica, y que podŕıan haberse obtenido como A
✓
�1
�2
◆
.
Observar que se podŕıa haber optado por resolver el sistema
(AtA)
✓
�1
�2
◆
= At
0
@
1
2
3
1
A
en vez de calcular (AtA)�1.
• ¿A qué se reduce el cálculo de (AtA)�1 cuando el espacio sobre el que se proyecta es una recta
vectorial?
• Sea U un subespacio de Rn y U? su ortogonal. Utiliza las igualdades matriciales anteriores para
pU (v) y pU?(v) con el f́ın de probar que p
2
U = pU y que pU � pU? es la aplicación nula.
Para concluir esta sección vamos a probar que dado un vector v 2 Rn y un subespacio U de Rn,
”el vector de U que menos difiere de v” es pU (v).
Teorema 4.2.1 De aproximación de la norma
En las condiciones anteriores se verifica:
kv � pU (v)k < kv � wk 8w 2 U con w 6= pU (v)
Demostración
Si u = pU (v), v�w = (v�u)+(u�w) con v�u 2 U? y u�w 2 U , de donde (v�u) · (u�w) = 0.
En consecuencia, kv � wk2 = kv � uk2 + ku � wk2. Deduciendo aśı la tesis del teorema puesto que
ku� wk2 6= 0 si y sólo si u = w.
En ese sentido se dice que pU (v) es la mejor aproximación de v en U .
Este último resultado tiene interesantes aplicaciones, algunas de las cuáles se recogen en la sección
próxima.