Apuntes algebra lineal y geometria vega (130)

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126 LECCIÓN 4. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
Teorema 4.3.2
Sean (x1, y1), (x2, y2), · · · , (xn, yn) un conjunto de n puntos de R2 tal que no todos los xi coinciden. Si
A =
0
@
1 x1 x21
...
...
...
1 xn x2n
1
A
y
0
@
a
b
c
1
A = (AtA)�1At
0
@
y1
...
yn
1
A
entonces y = ax2+ bx+ c es la parábola que da el mejor ajuste por mı́nimos cuadrados para los puntos
considerados.
La clave de la demostración de estos teoremas se halla en observar que el vector de los coeficioentes
de la recta o de la parábola verificando la condición exigida es justamente la proyección dl vector de
los yi’s sobre el subespaico de Rn definido por las columnas de A.
4.3.2 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales sobredimensionados
Genéricamente los sistemas de ecuaciones lineales con más ecuaciones que incógnitas no tienen ninguna
solución salvo que se verifiquen las hipótesis del Teorema de Rouche-Frobenius. Las técnicas desarrol-
ladas en este caṕıtulo mos van a permitir calcular, como en la sección anterior, la mejor pseudosolución,
esto es el punto de Rn que está más proximo de ser una solución del sistema lineal considerado.
Teorema 4.3.3
Sean A una matriz con m filas y n columnas, m � n y b un vector columna en Rm. Si
x = (AtA)�1Atb
entonces
kAx� bk < kAy � bk
para todo y 2 Rn tal que y 6= x.
La clave de la demostración de este teorema se encuentra en observar que el vector x verificando la
condición exigida es justamente la proyección de b sobre el subespacio de Rm definido por las columnas
de A.
4.4 Isometŕıas en espacios vectoriales eucĺıdeos
En la sección anterior se ha definido por espacio vectorial eucĺıdeo cualquier espacio vectorial real
dotado de un producto escalar. Esta nueva sección comienza con el estudio de las aplicaciones lineales
sobre un espacio vectorial eucĺıdeo que conservan las normas.