Apuntes algebra lineal y geometria vega (131)

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4.4. ISOMETRÍAS EN ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOS 127
4.4.1 Definición y primeras propiedades
En lo que sigue V denotará un espacio eucĺıdeo de dimensión n.
Definición 4.4.1
Sea � : V ! V un endomorfismo. Se dice que � es una transformación ortogonal o isometŕıa si
conserva la norma, es decir, si k�(v)k = kvk para todo v de V .
Observar que de la definición anterior se desprende que toda transformación ortogonal es biyectiva:
Si v 2 Ker(�), k�(v)k = k0V k= 0. Puesto que � conserva la norma, kvk = 0 y v = 0V . Se deduce
entonces que � es inyectiva, y por ser endomorfismo, biyectiva.
• Sea V = R3 con el producto escalar habitual. El endomorfismo � : V ! V definido por
�(x, y, z) = (x,�y,�z) es una transformación ortogonal, como puede comprobarse fácilmente.
• Si V el espacio de las funciones polinómicas de grado menor o igual que 2 con el producto escalar
< p(x), q(x) >=
R 1
0 p(x) · q(x)dx, el endomorfismo �IV es, obviamente, una transformación
ortogonal.
• Sea V = Rn, U un subespacio no nulo de V y U? su ortogonal. El endomorfismo � = pU � pU?
de V es una transformación ortogonal:
Si v es un vector cualquiera de V , y u = pU (v) y u0 = pU?(v), se tiene que �(v) = u � u0.
Recordemos que pU + pU? = IV , y que por tanto v = u+ u
0.
Aśı kvk2 = ku + u0k2 = kuk2 + ku0k2 + 2(u · u0) = kuk2 + ku0k2 porque u y u0 son ortogonales.
Usando precisamente que u y u0 son ortogonales, se llega a que k�(v)k2 = kuk2 + ku0k2.
Proposición 4.4.1
Sea � un endomorfismo de V . Las siguientes condiciones son equivalentes:
i) k�(v)k = kvk para todo v de V
ii) �(u) · �(v) = u · v para cualesquiera u, v de V
La implicación ii) =) i) es inmediata. Para probar que i) =) ii), desarrollar k�(u+ v)k2 y ku+ vk2.
Proposición 4.4.2
Sea � un endomorfismo de V , y B = {u1, · · · , un} una base ortonormal de V . Se tiene:
1. � es una transformación ortogonal si y sólo si B0 = {�(u1), · · · ,�(un)} es una base ortonormal
de V .
2. � es una transformación ortogonal si y sólo si la matriz MB(�) es una matriz ortogonal.
Demostración
1. Supongamos que � es una transformación ortogonal.
En este caso � es biyectiva y por tanto {�(u1), · · · ,�(un)} es base. Como conserva el producto
escalar: �(ui) · �(uj) = ui · uj = �ij ,(0 si i 6= j, 1 si i = j). Lo que prueba que B0 es ortonormal.
Supongamos que B0 = {�(u1), · · · ,�(un)} es una base ortonormal de V , y probemos que �
conserva la norma.
Sea v un vector cualquiera de V , que se expresará en función de B como v = ↵1u1 + · · ·+ ↵nun
(con ↵i = v · ui). Por ser � lineal, �(v) = ↵1�(u1) + · · ·+↵n�(un) (con ↵i = v · ui = �(v) · �(ui)
por ser B0 ortonormal).
Por ser B y B0 ortonormales, kvk2 =
Pn
1 ↵
2
i = k�(v)k.