Apuntes algebra lineal y geometria vega (132)

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128 LECCIÓN 4. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
2. Se deduce fácilmente del apartado anterior.
Proposición 4.4.3
Si � es una transformación ortogonal de V , se verifica que
• Los únicos autovalores reales de � son 1 y �1.
• ��1 es una transformación ortogonal.
• La composición de � con cualquier transformación ortogonal es una transformación ortogonal.
Supongamos que ↵ es un autovalor de �, y sea v un vector propio asociado a ↵. Se tiene entonces que
k�(v)k = |↵|kvk = kvk 6= 0, de donde se obtiene que |↵| = 1, y ↵ = ±1. Queda aśı probado el primero
de los apartados. La prueba de los dos últimos apartados no entraña ninguna dificultad.
4.4.2 Transformaciones ortogonales en un espacio de dimensión 2
En esta parte del caṕıtulo vamos a determinar la forma más sencilla de expresar matricialmente una
transformación ortogonal. Comenzaremos con el caso de dimensión 2, que utilizaremos posteriormente
para espacios de dimensión finita cualquiera.
Proposición 4.4.4
Sea V un espacio vectorial eucĺıdeo de dimensión 2, y � una transformación ortogonal definida en V .
Existe una base ortonormal de V respecto de la cuál la matriz asociada a � es de una de las formas
siguientes:
1.
✓
cos✓ �sen✓
sen✓ cos✓
◆
con 0  ✓ < 2⇧
2.
✓
1 0
0 �1
◆
Demostración
Observemos primero que un mismo endomorfismo � no puede ser representado por las dos matrices
descritas anteriormente. Ello supondŕıa que dichas matrices fuesen semejantes y en consecuencia que
tuviesen el mismo determinante, cosa que no es cierta.
Sea B = {v1, v2} una base ortonormal cualquiera de V (siempre podemos hallar una, y en el caso
que V = R2 con el producto escalar habitual podemos considerar la base canónica).
Si A = MB(�) =
✓
a b
c d
◆
, A es ortogonal y por tanto, AtA = AAt = In y det(A) = ±1. Después
de realizar las operaciones correspondientes, se obtienen las siguientes igualdades (*):
a2 + b2 = a2 + c2 = c2 + d2 = b2 + d2 = 1
ac+ bd = ab+ cd = 0
Estas condiciones en el caso de que det(A) = ad � bc = 1, conducen a que a = d y b = �c, y en
consecuencia A =
✓
a �b
b a
◆
con a2 + b2 = 1.
Existe entonces un único valor ✓ 2 [0, 2⇧) tal que a = cos✓ y b = sen✓. Se tiene pues que la matriz
asociada a � respecto cualquier base ortonormal es de la forma del apartado 1