Apuntes algebra lineal y geometria vega (138)

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134 LECCIÓN 4. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
2. Si �1 es valor propio de � y W = V�(�1)?, la transformación ortogonal �|W : W ! W no
tiene como valor propio el �1, y dimV�(�1) coincide con la multiplicidad del �1 como raiz del
polinomio caracteŕıstico de �.
Demostración
Sólo vamos a probar el primero de los apartados. En el segundo el razonamiento es completamente
análogo.
Supongamos que 1 es raiz de p�|W (X). En este caso existe un vector no nulo v 2 W tal que
�|W (v) = �(v) = v. Por tanto v 2 V�(1) \ V�(1)? = {0}, lo que es contradictorio con el hecho de que
v es no nulo.
Se tiene que p�(X) = (X�1)sp�|W (X) siendo s = dimV�(1) (considerar en V una base formada por
una base de V�(1) y una de W ). Puesto que el 1 no es raiz de p�|W (X), s coincide con la multiplicidad
del 1 en p�(X).
Nos queda por analizar qué sucede cuando el polinomio caracteŕıstico de � no tenga raices reales.
Observemos que en este caso todos los factores irreducibles de p�(X) son de grado 2. Además si
X2+↵X+� es uno de esos factores (cuyo discriminante es menor que cero) podemos expresarlo como
(X � a)2 + b2 con b 6= 0 (hacer a = �↵/2 y b =
p
4� � ↵2/2).
Lema 4.4.3
Si p�(X) no tiene raices reales y (X � a)2 + b2 con b 6= 0 es uno de sus factores irreducibles, existe
una base ortonormal de V respecto de la cual la matriz asociada a � es de la forma
0
BBBB@
a �b 0 . . . 0
b a 0 . . . 0
0 0 ? . . . ?
...
...
...
. . .
...
0 0 ? . . . ?
1
CCCCA
con a2 + b2 = 1.
Demostración
La prueba de este enunciado necesita definir algunas aplicaciones auxiliares y obtener destintos
resultados acerca de las mismas. Esas aplicaciones son los endomorfismos de V siguientes:
 = (�� aIV )2 + b2IV y ' =
�� aIV
b
.
1. Al ser (X � a)2 + b2 un factor del polinomio caracteŕıstico, el subespacio W = Ker( ) de V es
no nulo.
Las aplicaciones ' y conmutan, lo que garantiza que W es '-invariante.
Sea 'W la restricción de ' a W . Es fácil comprobar que '2W = �IW , lo que garantiza que existe
un vector u 2 W unitario tal que '(u) 6= 0.
Los vectores u y '(u) son linealmente independientes, puesto que en caso contrario existiŕıa un
número ↵ 6= 0 tal que '(u) = ↵u, pudiendo deducir que �(u) = (a + b↵)u. El valor a + b↵ es
por tanto un autovalor real de �, lo que contradice la hipótesis.