Apuntes algebra lineal y geometria vega (139)

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4.4. ISOMETRÍAS EN ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOS 135
2. Se considera el subespacio U =< u,'(u) > de W , de dimensión 2 por lo visto en el púnto
anterior. Veamos que U es �-invariante.
El vector �(u) puede escribirse como �(u) = au+ b�(u)�aub = au+ b'(u) 2 U
Como u 2 W , (u) = 0, lo que conlleva que �2(u) � a�(u) = a�(u) � (a2 + b2)u. Usando esta
igualdad y teniendo en cuenta que ' = ��aIVb , se puede deducir que �('(u)) = a'(u)� bu 2 U .
El hecho de que la imagen por � de una base de U esté contenida en U , es suficiente para
asegurar que U es �-invariante.
3. La aplicación �U (restricción de � a U) es una transformación ortogonal en U , por serlo � en V .
En tal caso el determinante de cualquiera de sus matrices asociadas es 1 o �1. La matriz de �U
respecto de la base BU = {u,'(u)} es, teniendo en cuenta el apartado 2,
✓
a �b
b a
◆
cuyo determinante a2 + b2 es positivo, por tanto a2 + b2 = 1.
4. La base BU es ortonormal como vemos a continuación.
- El vector u es unitario porque aśı se hab́ıa elegido.
- El producto escalar de u y '(u) es 0:
u 2 W ) (�2 � 2a�+ (a2 + b2)IV )(u) = 0 ) �2(u)� 2a�(u) + u = 0
Al multiplicar escalarmente la última expresión por �(u) y aplicando que � conserva los productos
escalares, obtenemos que u · �(u) = a. Esto llevado al producto de u y '(u), prueba que
u · '(u) = 0.
- El que � conserve las normas, u · �(u) = a y a2 + b2 = 1 lleva a probar que '(u) · '(u) =
k'(u)k2 = 1.
Todas las consideracioones anteriores sirven para garantizar que V = U �U? con U y U? subespacios
�-invariantes. Si B = {u,'(u), u1, · · · , un�2} es una base ortonormal de V , la matriz asociada a �
respecto dicha base es como la descrita en el enunciado.
Los lemas precedentes conducen al siguiente teorema.
Teorema 4.4.1
Sea V un espacio vectorial eucĺıdeo de dimensión n, y � una transformación ortogonal definida en V .
Existe una base ortonormal B de V respecto de la cual la matriz asociada a � es
0
BBBB@
Is 0 . . . . . . 0
0 �It . . . . . . 0
0 0 N(✓1) . . . 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 . . . N(✓q)
1
CCCCA
donde Is, It son las matrices identidad de orden s y t respectivamente (s es la multiplicidad del 1 y t
es la multiplicidad del �1 en el polinomio caracteŕıstico de �).
Las raices complejas cos✓j ± sen✓j de p�(X) producen las cajas N(✓j) =
✓
cos✓j �sen✓j
sen✓j cos✓j
◆
con
✓j 2 [0, 2⇧), ✓j 6= 0,⇧