Apuntes algebra lineal y geometria vega (142)

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138 LECCIÓN 4. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
Si B = {u1, u2, u3} es una base ortonormal de V con u1 2 V(�1) y u2, u3 2 V ?(�1), la matriz de la
aplicación es
M =
0
@
�1 0 0
0 cos✓ �sen✓
0 sen✓ cos✓
1
A
con ✓ 6= 0,⇧.
Obsérvese que
M =
0
@
�1 0 0
0 1 0
0 0 1
1
A
0
@
1 0 0
0 a1 b1
0 c1 d1
1
A
0
@
1 0 0
0 a2 b2
0 c2 d2
1
A [1]
donde
✓
ai bi
ci di
◆
es la matriz de la simetŕıa si, i = 1, 2 respeto de la base {u2, u3} de V ?(�1). Por
tanto las matrices 0
@
1 0 0
0 ai bi
0 ci di
1
A i = 1, 2
representan simetŕıas en V (los espacios propios asociados al autovalor 1 son de dimensión 2).
La primera de las matrices de la descomposición de M en [1] también representa una simetŕıa.
De todo ello se deduce que es este caso � es producto de tres simetŕıas.
¿Sucede eso mismo con la aplicación �IV ?
Quedan pues estudiadas todas las isometŕıas en un espacio de dimensión 3.
4.5 Espacio Af́ın
El conjunto Rn ha aparecido con anterioridad en múltiples ocasiones, y siempre bajo su estructura de
R-espacio vectorial. En esta sección y otras posteriores, vamos a trabajar con Rn desde dos perspectivas
distintas, y de forma conjunta.
Por un lado la ya tratada, V = Rn como R-espacio vectorial donde sus elementos reciben el nombre
de vectores y son denotados por v, w, u, · · ·. Por otro, X = Rn como conjunto de puntos, a los que
denotaremos por P,Q,R, · · ·.
En cursos anteriores, y para los casos n = 2, 3, el alumno se ha familiarizado con conceptos tales
como recta determinada por dos puntos, plano que pasa por un punto y tiene dirección dada, · · ·
Ahora se trata de establecer ciertas relaciones entre puntos, y puntos y vectores, que nos permiten
abordar tales conceptos y deducir las propiedades geométricas más elementales de una forma algo más
rigurosa. Se trata de ”mirar y ver” la geometŕıa de puntos a través del álgebra de vectores.
El espacio af́ın n-dimensional está constituido por los elementos siguientes. El conjunto de puntos
X = Rn y una aplicación de X ⇥X ! V que a cada par de puntos (P,Q) le asocia un vector v = ~PQ
(también v = Q� P o Q = P + v) verificando las dos propiedades siguientes:
i) 8P,Q,R 2 X, ~PR = ~PQ+ ~QR
ii) 8P 2 X, 8v 2 V , existe un único Q 2 X tal que v = ~PQ.
Definición 4.5.1
El conjunto de puntos X = Rn junto una aplicación como la descrita anteriormente, recibe el nombre
de espacio af́ın (estandar) asociado a V . Se define dimensión del espacio af́ın como la dimensión de
V .