Apuntes algebra lineal y geometria vega (145)

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4.5. ESPACIO AFÍN 141
v = ~PQ ! �P (v) = ~f(P )f(Q)
No siempre la aplicación �P es lineal, pero nuestro interés estará centrado en el caso en que esa
aplicación sea lineal. Por un lado las aplicaciones lineales son las espećıficas de los espacios vectoriales,
pero además se tiene la siguiente
Proposición 4.5.2
En las condiciones anteriores, si �P es lineal, entonces �R es lineal cualquiera que sea el punto R de
X. Además �P = �R.
Demostración
Basta ver que �P (v) = �R(v) cualquiera que sea el vector v de V . Sea v = ~PQ = ~RS.
�P (v) = �P ( ~PQ) = �P ( ~RS) = �P ( ~PS � ~PR) = �P ( ~PS)� �( ~PR) =
= ~f(P )f(S)� ~f(P )f(R) = ~f(R)f(S) = �R( ~RS) = �R(v)
Definición 4.5.3
Sea f : X = Rn ! X = Rn una aplicación.
1. Si para la aplicación anterior existe un punto P para el cuál la aplicación �P : V = Rn ! V = Rn
definida como antes es lineal, se dice que f es af́ın. La aplicación �P = � se denomina aplicación
lineal asociada a f .
2. Una aplicación af́ın se dice que es una transformación af́ın si es biyectiva, o equivalentemente,
si la aplicación lineal asociada es un isomorfismo.
La proposición anterior nos permite, para conocer si una aplicación es af́ın o no, considerar como
origen de cualquier vector el punto P0 = (0, 0, · · · , 0) y estudiar la linealidad o no de la aplicación
�P0 = �
Ejemplo 4.5.2
Los siguientes ejemplos muestran algunas aplicaciones afines, y otras que no lo son.
• La aplicación f : X = R2 ! X = R2 definida por f(x, y) = (5x+ 2, x� y + 2) es af́ın.
• La aplicación g : X = R2 ! X = R2 definida por g(x, y) = (5x2, x� y + 2) no es af́ın.
• La aplicación h : X = R2 ! X = R2 definida por h(x, y) = (5x+ 2, 5y � 3) es af́ın.
• La aplicación k : X = R2 ! X = R2 definida por k(x, y) = (
p
2
2 x�
p
2
2 y � 2, 1 +
p
2
2 x+
p
2
2 y) es
af́ın.
• La aplicación l : X = R2 ! X = R2 definida por l(x, y) = (x� 3, y + 6) es af́ın.
Obsérvese que en todos los casos, si P 0 = (x0, y0) es la imagen del punto P = (x, y) entonces se
puede establecer una igualdad del tipo
✓
x0
y0
◆
=
✓
a
b
◆
+
✓
a11 a12
a21 a22
◆✓
x
y
◆
En la igualdad anterior la matriz (aij) puede considerarse, en cada caso, la de la aplicación lineal
asociada respecto de la base canónica.