Apuntes algebra lineal y geometria vega (146)

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142 LECCIÓN 4. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
• Sea r la recta af́ın de ecuación 2x� y = 3, y sea m la aplicación de X = R2 en X = R2 definida
por m(P ) = P 0 donde P 0 es el punto de intersección de la recta r con la recta que pasa por P y
tiene por vector director v = (1, 1). Tal aplicación es af́ın.
Basta ver que si P = (x, y) y P 0 = (x0, y0) entonces se tiene una relación matricial como la
descrita anteriormente, donde la aplicación lineal asociada está determinada por la matriz (aij)
• Sea r la recta af́ın de ecuación 2x� y = 3, y sea n la aplicación de X = R2 en X = R2 definida
por n(P ) = P” donde P” está determinado por la condición ~PP” = 2 ~PP 0, donde P 0 es la imagen
de P por la aplicación m anterior. Un método análogo al señalado para m prueba que n es af́ın.
Es un buen ejercicio:
- Representar gráficamente el efecto que produce sobre distintos puntos cada una de las aplicaciones
anteriores. Aśı como el producido, en cada caso, por la aplicación lineal asociada.
- Determinar el conjunto de puntos fijos (aquellos que coinciden con su imagen) por cada una de
las aplicaciones.
- Establecer la relación, cuando sea posible, entre el conjunto de puntos fijos por una aplicación
af́ın y el conjunto de vectores fijos por su aplicación lineal asociada.
- Determinar en qué casos la aplicación af́ın es una transformación.
- Elegir entre términos tales como traslación, homotecia, giro, ... áquel que parezca apropiado
asignar a cada una de las aplicaciones afines anteriores.
2. Determinación de una aplicación af́ın
Supongamos que en el espacio af́ın X = Rn hay fijado un sistema de refencia R = {P0, P1, · · · , Pn},
y que f : X ! X es una aplicación af́ın de la que conocemos las imágenes por f de los puntos del
sistema de referencia R.
Obsérvese que esto último es equivalente a conocer la imagen por f del punto P0 y las imágenes
por � de los vectores de la base B determinada por R: vi = ~P0Pi para i = 1, 2, · · · , n, donde � es la
aplicación lineal asociada a f .
A continuación lo que vamos a ver es que basta tener cualquiera de esas dos condiciones (equiva-
lentes) para poder determinar la imagen de cualquier punto de X.
Sea P un punto cualquiera de X. Por la definición de aplicación lineal asociada a una aplicación
af́ın se tiene que ~f(P0)f(P ) = �( ~P0P ). Por ello, si (x1, · · · , xn) son las coordenadas de P , (x01, · · · , x0n)
son las coordenadas de f(P ), y (a1, · · · , an) son las de f(P0) (todas ellas referidas al sistema de
referencia R) podemos establecer la siguiente igualdad:
0
@
x01
...
x0n
1
A =
0
@
a1
...
an
1
A+MB(�)
0
@
x1
...
xn
1
A
denominada ecuación matricial de la aplicación af́ın f respecto del sistema de refencia R.
Es fácil comprobar el rećıproco de lo aqúı visto. Una expresión matricial como la anterior permite
definir una aplicación af́ın, y sólo una, en X.
3. Distancia entre puntos. Movimientos
Hasta aqúı hemos considerado X = Rn como conjunto de puntos y V = Rn como conjunto de
vectores. Hemos establecido una aplicación de X ⇥ X en V que define a X como espacio af́ın con
V como espacio vectorial asociado. También se ha viso que el concepto de aplicación af́ın en X está
ligado al de endomorfismo en V .
Además en V tenemos un producto escalar que nos permite definir norma de un vector, concepto
que vamos a emplear para definir distancia entre dos puntos de X.