Apuntes algebra lineal y geometria vega (147)

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4.5. ESPACIO AFÍN 143
Definición 4.5.4
Dados dos puntos P,Q 2 X, se define distancia de P a Q como el número d(P,Q) = k ~PQk.
Observar que la distancia es una aplicación d : X ⇥X ! R
Proposición 4.5.3
Algunas de las propiedades de la distancia son las siguientes. Sean P,Q,R 2 X puntos cualesquiera,
se verifica
1. d(P,Q) � 0, d(P,Q) = d(Q,P )
2. d(P,Q) = 0 , P = Q
3. d(P,R)  d(P,Q) + d(Q,R)
La prueba de las propiedades anteriores se deduce de forma inmediata de las relativas a la norma.
Definición 4.5.5
El espacio af́ın X = Rn junto con la distancia definida anteriormente recibe el nombre de espacio af́ın
eucĺıdeo (estandar).
En el espacio af́ın eucĺıdeo X = Rn se consideran aquellas aplicaciones afines que son biyectivas
(transformaciones afines). Entre dichas aplicaciones vamos a seleccionar áquellas que conservan las
distancias, para después realizar un estudio algo más detallado de las mismas.
Definición 4.5.6
1. Una transformación af́ın f se dice que conserva las distancias si 8P,Q,2 X se verifica que
d(f(P ), f(Q)) = d(P,Q).
2. Una transformación af́ın que conserva las distancias se dice que es un movimiento.
Recordemos que decir que una aplicación af́ın es transformación af́ın es equivalente a decir que la
aplicación lineal asociada es un isomorfismo. En la siguiente proposición se ve la relación entre
”conservar distancias” y ”conservar normas”.
Proposición 4.5.4
Sea f : X = Rn ! X = Rn una transformación af́ın, y sea F : V = Rn ! V = Rn el isomorfismo
asociado a f . Se verifica:
f es movimiento si y sólo si F es isometŕıa
Demostración
Supongamos que f es un movimiento, y sea v = ~PQ un vector cualquiera de V con P,Q 2 X. La
siguiente cadena de igualdades prueba que � es una isometŕıa.
kvk = k ~PQk = d(P,Q) = d(f(P ), f(Q)) = k ~f(P )f(Q)k = k�( ~PQ)k = k�(v)k
Supongamos que � es isometŕıa, y que P,Q son puntos cualesquiera de X. Veamos que f conserva las
distancias.
d(f(P ), f(Q)) = k ~f(P )f(Q)k = k�( ~PQ)k = k ~PQk = d(P,Q)