Apuntes algebra lineal y geometria vega (155)

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4.7. CÓNICAS Y CUÁDRICAS 151
· La ecuación x2 = 0 tiene como solución al conjunto de puntos de la recta x = 0 contados dos
veces (recta doble o par de rectas coincidentes).
· La ecuación x2+4 = 0 no tiene solución real. Se dice que la cónica definida por dicha ecuación
es el conjunto vacio o ”el par de rectas imaginarias” (y paralelas) x = ±2i
· Cuando se considera la ecuación x2 + y2 = 0, el conjunto solución real es el punto (0, 0) pero
también se dice que la cónica resultante es formado por las ”rectas imaginarias” (y secantes en
el (0, 0)) de ecuaciones y = ±ix
• Consideremos la cónica de ecuación x2 + y2 + 1 = 0 (en el sistema de referencia canónico). Por
tratarse del conjunto vacio, lo más común seŕıa decir que coincide con la de ecuación x2+4 = 0.
Ahora bien, si esta última cónica la interpretamos como el par de ”rectas imaginarias” x = ±2i,
podemos observar que algunos ”puntos imaginarios” que están en esas ”rectas” no satisfacen
la ecuación de la primera cónica. El ”punto” (2i, 1) satisface la ecuación x2 + 4 = 0, pero no
x2+y2+1 = 0. El ”punto” (2i,
p
3) satisface ambas ecuaciones. Después de ver que el ”conjunto
solución de puntos imaginarios” para ambas ecuaciones no es el mismo, costaŕıa más afirmar que
ambas cónicas son iguales.
Podemos observar también que las matrices que definen dichas cónicas
0
@
4 0 0
0 1 0
0 0 0
1
A y
0
@
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1
A
no son proporcionales. Tampoco tienen el mismo rango, ni la misma signatura (conceptos ligados
a cierta clasificación de las matrices simétricas).
De todo lo anterior uno puede admitir que en el plano af́ın, y respecto del sistema de referencia
canónico, una cónica queda caracterizada por cualquiera de las matrices simétricas ↵M , siendo ↵ 6= 0
y M =
✓
c B
Bt A
◆
, de tamaño 3⇥ 3, donde A =
✓
a11 a12
a12 a22
◆
y B = ( b1 b2 ). Por tanto
Definición 4.7.2
Se dice que dos cónicas son iguales si y sólo si sus matrices (en el mismo sistema de referencia) son
proporcionales.
Supongamos que se tiene una cónica de ecuación [1] respecto del sistema de referencia canónico, que
matricialmente la expresamos por
( 1 X )M
✓
1
Xt
◆
= 0 [1’] , donde X = (x1 x2 ) y M =
✓
c B
Bt A
◆
con c, B,A las matrices descritas anteriormente. Si se adopta un nuevo sistema de referencia R0 donde
las coordenadas de un punto las denotamos por (x01, x
0
2) se tiene la relación
✓
x1
x2
◆
=
✓
c1
c2
◆
+Q
✓
x01
x02
◆
[3]
donde C = (c1, c2) son las coordenadas del nuevo origen, y Q la matriz del cambio de base (sus
columnas expresan la base nueva en función de la canónica). La ecuación [3] puede escribirse:
( 1 Xt ) = Q⇤
✓
1
X 0t
◆
[3’] con Q⇤ =
✓
1 0
Ct Q
◆