Apuntes algebra lineal y geometria vega (166)

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162 LECCIÓN 4. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
Problema 4.8.21
En R3 se considera el plano vectorial P engendrado por los vectores u = (1, 2, 0) y v = (�1, 1, 1) y la
simetŕıa ortogonal s respecto del plano P .
a) ¿Cuál es el polinomio caracteŕıstico de s?. Determina una base de R3 respecto de la cual s esté
representada, como isometŕıa, por una matriz canónica.
b) Determina la matriz asociada a s respecto de la base canónica de R3.
c) Halla la imagen por s de los vectores (0, 3, 1), (�2, 1,�3), (1, 0, 0).
Problema 4.8.22
Sean �1, �2 y �3 los endomorfismos de V = R3 definidos, respecto de la base canónica, por las matrices
siguientes.
M(�1) =
0
@
�1 0 0
0 1 0
0 0 1
1
A M(�2) =
0
@
1 0 0
0
p
2
2
p
2
2
0
p
2
2 �
p
2
2
1
A M(�3) =
0
@
1 0 0
0 1 0
0 0 �1
1
A
1. Demuestra que los endomorfismos �1, �2 y �3 son todos ellos isometŕıas (o transformaciones
ortogonales).
2. Las transformaciones �1, �2 y �3 son simetŕıas (vectoriales). Señala para cada una de ellas,
el plano de vectores fijos (o base de la simetŕıa), aśı como un vector que se transforme en su
opuesto. ¿Qué relación hay entre el plano y el vector?.
3. ¿Qué tipo de isometŕıa es �1 · �3?. Señala los elementos que la caracterizan.
4. Sea U =< e2, e3 > y ⇢ la restricción de �2 · �3 a U . ¿Qué tipo de isometŕıa es ⇢?.
5. ¿Tiene algún vector fijo �1 · �2 · �3?.
Problema 4.8.23
Se consideran las siguientes bases de V = R3 :
B = {v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 0, 0), v3 = (1, 1, 0)}
Bc = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 1), e3 = (0, 0, 1)}
y la matriz
M =
0
@
p
2
2 0
p
2
2
0 1 0p
2
2 0 �
p
2
2
1
A
Sea � el endomorfismo de V = R3 definido, respecto de la base B, por la matriz M ( MB(�) = M), y
sea el endomorfismo de V = R3 definido, respecto de la base Bc, por la matriz M (MBc( ) = M).