Apuntes algebra lineal y geometria vega (167)

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4.8. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA EUCLÍDEA 163
1. Demuestra que:
· M es una matriz ortogonal.
· � no es una isometŕıa en V = R3.
· es una isometŕıa en V = R3.
2. Suponiendo que ⇢ es endomorfismo de un espacio vectorial eucĺıdeo V , ¿son verdaderas o falsas
las siguientes afirmaciones?
· Si M es una de las matrices asociadas a ⇢, ⇢ es una isometŕıa si y sólo si M tM es la matriz
identidad
· Si M una matriz asociada a ⇢ respecto de una base ortonormal de V , ⇢ es una isometŕıa si y
sólo si M tM es la matriz identidad
3. Demuestra que es una simetŕıa (vectorial), y determina el plano de vectores fijos (base de la
simetŕıa).
4. Halla una isometŕıa ⇢ de V = R3 tal que � ⇢ = ' sea la simetŕıa que tiene como plano de
vectores fijos el generado por e1 y e2. Dı́ qué tipo de transformación es ⇢ y establece los elementos
que la caracterizan.
Problema 4.8.24
Prueba que cada uno de los conjuntos de puntos siguientes es un sistema de referencia en el espacio
af́ın (estandar) R3.
a) P0 = (1, 0,�1), P1 = (1, 1, 0), P2 = (0, 1, 1), P3 = (0, 0, 1)
b) Q0 = (�1, 0, 2), Q1 = (0, 1,�2), Q2 = (0, 0, 1), Q3 = (1, 0,�3)
Problema 4.8.25
Se considera el espacio af́ın R3.
a) Establece la relación existente entre el sistema de referencia canónico de R3 y cada uno de los
sistemas de referencia del ejercicio anterior.
b) Establece la relación existente entre el sistema de referencia R = {P0, P1, P2, P3} y R0 =
{Q0, Q1, Q2, Q3}
c) Sea el punto P = (1, 2, 3) de R3. Halla las coordenadas de P en los sistemas de refencia R y R0.
Problema 4.8.26
onsideremos en el espacio af́ın estandar Rn un subconjunto Y de puntos. Se dice que Y es un subespacio
af́ın de Rn si para algún punto P de Y , el conjunto de vectoresWP (Y ) = { ~PQ/Q 2 Y } es un subespacio
del espacio vectorial Rn.