Apuntes algebra lineal y geometria vega (169)

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4.8. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA EUCLÍDEA 165
a) Demuestra que f es una aplicación af́ın. ¿Es f una transformación af́ın?
b) Si F es la aplicación lineal asociada a f , determina KerF y Im(f)
c) Se considera la recta de puntos r de R3 dada por las ecuaciones paramétricas siguientes:
x = 1 + ↵
y = 2� ↵
z = �1 + ↵
Determina f(r).
d) Se consideran los siguientes planos de puntos:
⇧ de ecuación 2x+ y � z + 1 = 0
⇧0 de ecuación x+ y + 2z � 1 = 0
Obtén la imagen de cada plano por f y explica los resultados.
Problema 4.8.30
Consideremos Rn como espacio af́ın euclideo, y sea f : Rn ! Rn una aplicación que conserva la
distancia. La condición anterior es suficiente para garantizar que f es un movimiento, es decir, que
es af́ın y biyectiva. En este ejercicio se pretende que pruebes lo anterior resolviendo cada uno de los
siguientes apartados:
a) Sea g : V = Rn ! V = Rn una aplicación que conserva el producto escalar, y sea B = {v1, ..., vn}
una base ortonormal de Rn. Obsérvese que no se dice que g sea lineal, eso es lo que se trata de
probar.
i) Demuestra que g(B) = {g(v1), ..., g(vn)} es una familia de vectores ortonormal. Deduce
que g(B) es una base de Rn.
ii) Recuerda que por ser B una base ortonormal, si v 2 Rn es tal que v = a1v1 + ... + anvn,
entonces ai = v.vi, 8i. También para g(v) = b1g(v1)+...+bng(vn), se tiene bi = g(v).g(vi),8i.
Usa lo anterior para probar que g es lineal.
iii) Deduce que g es un isomorfismo.
b) Sea P 2 X = Rn un punto cualquiera pero fijo, y sea FP : V = Rn ! V = Rn la aplicación
definida por FP ( ~PQ) = ~f(P )f(Q), donde f es la aplicacón de Rn en Rn que conserva las
distancias
i) Prueba que FP conserva el producto escalar. (Indicación: Desarrolla (v � w).(v � w) y
(FP (v)� FP (w)).(FP (v)� FP (w)) para v = ~PQ y w = ~PR)
ii) Deduce que FP es lineal. ¿Es FP biyectiva?.
iii) ¿Puedes concluir ya que f es af́ın y biyectiva?.